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 et, comme loul est connu dans le second membre en fonction de s', soit 

 par suite des équations (i), soit par suite des équations (G), ce sont les 

 équations de la courbe cberchée et, par conséquent, lis intégrales des 

 équations différentielles (2. 



» Pour voir, a posteriori, l'identité de cette solution avec celle que nous 

 avons déjà donnée, il suffit de projeter successivement sur la direction 

 de t' et de p' le périmètre du triangle formé par la distance R et ses deux 

 projections x',, 7', sur les axes mobiles; on obtient ainsi les deux équations 



Rcos(R, t') — >', sin£'— jc\cosi', Rcos(R,(5') =7', cosî'-f- .r', sins'. 



Or, si l'on porte ces deux valeurs dans les équations (5'), en ayant égard 

 aux équations (6), on retombe sur les équations (5), dans lesquelles a\,,jo 

 seraient les constantes arbitraires. 



)> 4" Passage des intégrales particulières aux intégrales générales. — On 

 suppose que l'on connaît une solution particulière des équations (2), et 

 l'on se propose d'obtenir les intégrales générales de ces équalions. Or celte 

 question, que nous avons déjà résolue dans noire /analyse des routhcs tra- 

 cées sur une surface quelconque (p. i36), peut être aussi résolue de la ma- 

 nière suivante. Si l'on mène à un* courbe C une série de normales des 

 différents points de cette courbe, de sorte que deux normales infiniment 

 voisines se rencontrent, et que, à partir des pieds de toutes ces normales, 

 on porte sur cbacune d'elles des longueurs égales, les extrémités de tes 

 longueurs formeront une seconde courbe, qui est la courbe parallèle de la 

 courbe G. 11 est évident que la ligne C et sa parallèle ont même surface 

 polaire, lieu des intersections des plans normaux ; de là résidte que, si l'on 

 connaît une seule courbe C, en cbercbant les courbes parallèles, on aura 

 toutes les courbes qui ont même surface polaire que la courbe C ou, ce 

 qui revient au même, les intégrales générales des équations (2). On voit, 

 en effet, que les équations d'une courbe parallèle d'une courbe donnée 

 contiennent deux constantes arbitraires : l'une relative à la position d'une 

 des normales de la série, qui se renconireut successivement; l'autre rela- 

 tive à la longueur invariable prise sur cliaciuie d'elles à partir de son pied, 

 et que, par une détermination convenable de ces deux constantes, on peut 

 faire passer la courbe par un point quelconque de l'espace. Ces considé- 

 rations montrent que, lorsqu'on connaît un seul système d'intégrales par- 

 ticulières des équations (2), on peut obtenir les intégrales générales de tes 

 équations. 



