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 » Soient maintenant les équations de la courbe C 



^==J{i), J-/.(0> z=/,(0, 



formant le système d'intégrales particulières des équations (2); si l'on 

 mène par deux points infiniment voisins, pris sur la courbe C, deux nor- 

 males qui se rencontrent en un point M de la surface polaire de cette 

 courbe, l'angle de la normale et de la génératrice rectiligne correspon- 

 dante de la surface est égal à la somme des flexions du> de la courbe C, 

 augmentée d'une constante relative à la génératrice initiale et variant, 

 pour cette génératrice, suivant l'inclinaison de la normale initiale, de sorte 

 que, si l'on représente cet angle par 0, on a la relation 



Or, si l'on remarque que les trois longueurs t, p, v forment un système 

 d'axes orthogonal, et qu'on appelle 7i la longueur constante de la normale, 

 on a les trois équations contenues dans le type suivant : 



cos («, a:) = cos(p, x) sin^fdrj) -+- &)„) + cos(v, x) cos(/<fco + («)„), 



qui font connaître les angles que la normale « fait avec les trois axes; par 

 conséquent, les équations de la courbf parallèle de la courbe C sont 



X — .r Y — r Z -z 



n. 



1:0s [n, x) cos[n,y) cos(«,z) 



dans lesquelles X, Y, Z sont les coordonnées courantes; ces coordonnées 

 sont donc connues en fonction de la variable t. Les équations de la courbe 

 parallèle de la courbe C sont donc les intégrales générales des équa- 

 tions (2), uniquement déduites d'un système d'intégrales particulières des 

 mêmes équations. 



» La question que nous venons de traiter donne la solution de ce pro- 

 blème général : Le mouvement d'un plan est déterminé pai- une loi (juclconque 

 donnée; trouver les trajectoires orthogonales des positions successives de ce plan. 

 Il suffit, en effet, de calculer les équations de l'arête de rebroussement de 

 la surface développable, enveloppe de ce plan, ce qui est luie question de 

 Calcul différentiel, et d'appliquer aux équations de celte arête l'analyse 

 que nous venons d'exposer. » 



