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 et, par conséquent, 



7 ùi[y]dx ^ %\x\x coix%\n y cm y dy 



- c- 



. , i ~ c- iin'jcim'x (i — (" sin-xcos-_r) A(jj 



I 70 ^i^)dy ,, sin.r cosjr sinjr cos/</x 



> ' I — c= sin'a;bin^/ (i — c' sin^j;sin'/) A (x) ' 



puis, eu vertu de la proposée, 



(7) da. + d[i — o. 



L'intégrale cherchée est donc a + /3 = consl., ou lang(a + /3) = const., 

 ou enfin 



siiixcosr A ( r) 4- sinr cos.r i{x) 



tangu. = — '-^ ■ , , [ , 



"' cos.r cosj — siiij; siti)- l\[jc) \[y) 



résultat connu (*). 



» II. D'après les valeurs (6), on a 



l i) '^ P- LA(x) A(,r)J I — c' sin'x sin=. 



/ cos j; cosj' 



Ainsi, pour transformer le premier membre de la proposée en une différentielle 

 exacte, il a suffi de le multiplier par 



. A(x)A(r) — c^sin.r sinr cosj" cosr . / \ ,mj,\ 

 A = -5-^ — 7-^-, r^, ^ =^(/J-) ( )• 



Conséqueminent, ~rr?. + 'ZT~\ ^^) ^^' ""*'^'' ""^' différentielle exacte, la 



(*) Après avoir dcnionti c cette formule, Legeadre ajoute : ■< Si l'on prenait deux angles 

 « auxiliaires a, p, tels que 



langa := tang.r A(/), tangp := tan^j A(.r), 



« il en résulterait 



P = a + p, 



» ce qui esl un moyen de calculer aisément f. par les Tables de sinus. >» Comment l'illustre 

 auteur du Traité des Fonctions elliptiques ne s'est-il pas aperçu que ces variables a, p 

 réduisent l'équalion (i) à la forme (6)? 



Un mot encore. Dans le triangle sphcriquc de Lagrangc, a, (3 sont les segments déter- 

 minés, sur le côté f*, par la hauteur correspondante. Ce triangle sphérique donne donc, de 

 la manière la plus biuq)le, toute la théorie de l'addition des Jonctions de première cspicc. 



(**) En effet, 



dx dy d^ 



Â(7) 1(7) ~ TiJ) ' 



