( i482 ) 

 mutes drs courbes planes : je ne connaissais aucune des solutions qu'il a 

 données de la question dont il s'agit; mais, les oussé-je connues, je n'en 

 aurais pas moins présenté à l'Académie la Note qui vient d'être publiée, et 

 en voici les raisons. M. Serret a abordé la question à trois époques diffé- 

 rentes : en iSSa, i855 et 18G8. A la première époque, c'est bien la même 

 question que j'ai posée moi-même, quoique en des termes différents : 

 (c Trouver la courbe dont les centres des sphères osculatrices sont sur une courbe 

 donnée » [Journal de Liouville, t. XVIII, p. 3i ). M. Serret ne résout pas 

 _ complètement la question à cat>se de l'équation différentielle (7) [Ibid., 

 p. 32) qu'il n'intègre pas, parce que l'intégrabilité de cette équation reste 

 voilée sous la forme qu'il lui a donnée, et par suite de quantités qu'il 

 faudrait éliminer. A la deuxième époque, c'est une question voisine de la 

 précédente : « Trouver les trajectoires orthogonales d'un plan mobile ». Cette 

 question est complètement résolue et d'une manière très-élégante; sa solu- 

 tion est, à mes yeux, un modèle d'analyse. Or, cette question, qui revient 

 foncièrement à la précédente, en est pourtant distincte, parce que les élé- 

 ments de la courbe donnée dans la première question restent cachés 

 dans la seconde: aussi l'auteur a employé une analyse distincte. Ces deux 

 questions sont telles que la solution directe de l'une n'est que la solution in- 

 directe de l'autre. Enfin, à la dernière époque, il a publié, dans son Calcul 

 différentiel, p. 4^3) "ne solution de la question directe, mais par une ana- 

 lyse distincte de celle qu'il avait d'abord employée. Par cette analyse, 

 l'intégration de Téquation (7) se trouve éludée, ce qui justifie la place que 

 l'auteur donne à cette solution dans le Calcul différentiel. 



» La Note que je viens de présenter à l'Académie donne deux solutions 

 directes du premier problème posé par M. Serret. 



» La première solution est fondée sur la même analyse; seulement mon 

 équation résolvante (3) [Comptes rendus, t. LXXYIII, p. 1291), est une équa- 

 tion nouvelle ; et, si elle n'est pas nouvelle, c'est une équation dont on ne 

 s'est pas servi, qui a la forme intégrable et qui conduit immédiatement aux 

 expressions explicites des coordonnées delà courbe. Dans la composition, 

 elle est simple et ne contient que deux éléments : l'un, le rayon de courbure 

 de la courbe donnée; l'autre, le rayon de courbure de la courbe cherchée. 



» La seconde solution que je donne est fondée sur la Méthode des rou- 

 lettes, en tant qu'une courbe non plane roule sur xine autre courbe non 

 plane, de telle sorte qu'à chaque instant leurs plans osculateurs coïncident. 

 Cette méthode, que j'ai exposée dans un Mémoire spécial, dont un résumé 

 a été publié dans les Comptes rendus (t. LXX, p. 978), est un méthode déii- 



