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ces trois équations, en y remplaçant x', y\ z' par leurs valeurs tirées des 

 équations (i), on aura le système des trois é(ju;iIions différentielles des 

 courbes cherchées qui sont du premier, du second et du troisième ordre. 



» 2° Inlégrnles. — Nous savons calculer sous forme explicite les coor- 

 données de la courbe C dont le lieu des centres de courbure des sphères 

 osculatricesest une courbe donnée C [Comptes rendus, t. LXXVIII, p. lago); 

 nous tirerons des équations (5), page 1291, les équations différentielles sui- 

 vantes de la courbe C : 



1' tir „, . dy r I \ 'l~ r • \ 



( ï ='•■('). 



dans lesquelles x, y, z sont les coordonnées d'un point quelconque et ds 

 l'élément de l'arc de courbe. Elles se déduisent, comme nous l'avons 

 montré, des équations du plan normal N à la courbe C supposée connue 

 et des dérivées première et seconde de ce plan, équations que nous avons 

 écrites sous la forme 



(2)' N = o, N' = o, ]N"=o. 



Si nous considérons le point où une des courbes C rencontre une des courbes 

 C", la comparaison des équations (a) et (a)' nous donne le système sui- 

 vant d'équations différentielles : 



id.r" _ dy" _ dz" _ ^ 

 Udt ~ W dy ~~ C dz ~ v''A*</i-'+B'f/j= + C'</;' ' 

 cls = ds" cos{fh, ds"), 



en représentant par ds" l'élément de l'arc de courbe C". Or on a l'é- 

 quation 



, , , „, dxtlx" dydr" dz d-.' 

 cos{ds,ds ) = _ — + _-^+-_, 



et, en ayant égard aux équations (/j) et (3), on obtient la valeur suivante 

 de ds" en fonction de la variable t : 



De là résulte que l'on aura trois équations différentielles dans lesquelles les 

 variables seront séparées, données par les trois premières équations (.'1) ; 

 elles seront relatives, chacune à l'un des trois axes coordonnés et ont pour 



