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 courbes (y^)sont, par exemple, les rayons vecteurs issus de l'origine, et 

 les courbes [j^] les lemiiiscates ayant leur centre commun à l'origine et 

 leur axe commun incliné de 45 degrés sur la verticale. Les courbes (ij;) 

 sont alors, comme chacun sait, les circonférences tangentes à l'axe hori- 

 zontal à l'origine. Or il est aisé de vérifier l'égalité d'inclinaison delà tan- 

 gente à la lemniscate, et du rayon vecteur sur la tangente à la circonfé- 

 rence passant par l'extrémité de l'arc de courbe; car cette inclinaison 

 commune est celle du rayon vecteur sur l'horizontale. 



» Voici une seconde vérification qui mettra en évidence la propriété 

 que je signale, et qui me paraît nouvelle. 



» Considérons, avec M. Vincent, le cas où la vitesse s'exprime en coor- 

 données polaires (/•, 0) par la relation 



(i) P- = -/;=/- + /X/-9 (5). 



[Ce cas renferme celui des lemniscates et de leurs cordes, si l'on suppose 

 (f [B) = sin 0.] 



M Admettons que les courbes de la série [J\) soient des rayons vecteurs 

 issus de l'origine, et cherchons les courbes de la série [J^)- Le temps 

 employé parle mobile, abandonné sans vitesse à l'origine, pour parcourir 

 une longueur r, sur un rayon vecteur correspondant à une valeur de Q, 

 s'obtient par une intégration facile à effectuer et a pour expression 



^ = - - + arc sin ( ^4^ —Oh 



les courbes de la série ((j>), relatives aux diverses valeurs de t données par 

 cette formule, auront évidemment une équation finie de la forme 



(2) r = Cy($), 



la constante C étant calculée d'après la valeur assignée à t. 



» Or l'équation différentielle des courbes de la série (/j) devient dans 



ce cas 



■3) 2-=r/5r?^-^-^l 



et elle exprime précisément la propriété générale que je viens d'indiquer; 

 car, en désignant par U l'angle du rayon vecteur r avec la tangente à la 

 courbe (|) représentée par l'équation (a'!, et par U' l'angle du même rayon 

 vecteur avec la tangente à la courbe [j^] passant par le point commun aux 

 deux premières, l'équation (3) peut s'écrire ainsi 



(4) . ^ , , 7 — — ^-, — tangU; 



tiini,' U' tani; U ° ' 



