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 d'où 



U' = 2U. 



» L'équation (4) peut donc être considérée comme la traduction de 

 l'équation différentielle du problème qui a pour objet la recherche des 

 courbes dont les arcs com[)ris entre des limites convenables sont par- 

 courus dans le même temps. 



» Si les courbes de la série (y,) sont les trajectoires orthogonales des 

 courbes de la série (i}i), les deux séries (/, ) et (/j) se confondent, ce qui 

 résulte d'ailleurs de l'équation (4). 



" De plus, les considérations qui précèdent montrent que les limites 

 des intégrales donnant le temps du parcours sur des arcs synchrones de 

 (y,) et (/a) doivent correspondre à deux positions des courbes ((|(). » 



GÉOMÉTRIE. — Sur tes principes de correspondance du plan et de l'espace. 

 Note de M. Zeutuen, présentée par M. Chasles. 



« 1. Théorème I. — Soit donnée dans un plan une correspondance telle: 



» i" Qu'à un point quelconqueli. correspondent a' points X', cl à un point X' 

 « points X ; 



» 2° Que le lieu des points X ou X' dont les points homologues se trouvent sur 

 une droite donnée soit une courbe d'ordre |3 ; 



» Alors il existe dans le plan 



V. + a' -h [ii 



points où deux points homologues X et X' coïncident. 



1) On peut évidemment substituer aux points d'un plan les droites d'un 

 plan, ou les droites ou les plans passant par un point fixe de l'espace. 



» Démonstration. — On trouve, en appliquant le principe de correspon- 

 dance de M. Chasles aux droites joignant un pouit fixe O aux points 

 d'une droite fixe, et aux droites joignant O aux points qui y correspon- 

 dent, que les ordres des lieux des points homologues X et X', tels que les 

 droites XX' passent par O, sont, respectivement, a' + j3 et « -H /3. 



» En regardant ensuite connue correspondantes les droites joignant un 

 autre point fixe P à des points homologues X et X' placés sur dos droites pas- 

 sant parO, on trouve « -f- a' -+- 2 jS coïncidences de ces droites correspon- 

 dantes. La droite PO, qui, comme toute autre droite, contient ^ couples 

 de points homologues, donne lieu à /3 de ces coïncidences. Les autres, au 



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