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 nombre de a -H a' + p, résultent de la coïncidence d'un point X avec un 

 point X'. Donc, etc. 



M Jpplicalion.— Soient X et X' deux points qui ont le même axe harmo- 

 nique par rapport à deux courbes générales des ordres n, et «.. Alors 



Le nombre des points qui ont le même axe harmonique par rapport aux 

 deux courbes données est donc égal à 



(/i, - «)- ■+■ {n, — i; (?i2 — i) + («2 — OS 



résultat bien connu. 



» 2. Théorème II. —Soit donnée dans l' espace une correspondance telle: 

 « I ° Qu'à un point cjuelconque X correspondent a! points X', et à un point X 



« points X ; 



» 2° Que les lieux des points X et X' dont les points homologues se trouvent 

 sur une droite donnée soient des courbes dont les ordres soient respectivement 

 égaux à p et |3'; 



» ^loi's il existe 



a + a' + /3 + p' 



points ail deux points homologues X et X' coïncident. 



» On peut substituer les plans de l'espace à ses points. 



» Démonstration. — On trouve, au moyen du théorème I, que les courbes, 

 lieux de points homologues X et X', tels que les droites XX' passent par 

 un point fixe O, sont, respectivement, des ordres a'+ /3 + /B' et a +jS' + /3. 



» En regardant ensuite comme correspondants les plans joignant un axe 

 fixe A à des points homologues X et X' placés sur des droites passant par O, 

 on trouve a + a' +2/3 + 2/3' coïncidences de ces plans correspondants. 

 Le plan AO, qui contient P + /3' couples de points X et X' placés sur des 

 droites passant par O, donne lieu à p + P' de ces coïncidences. Les au- 

 tres, au nombre de u -h a' + ^ -\- ^\ résultent de la coïncidence d'un 

 point X avec un point X'. Donc, etc. 



» application. — Soient X et X' deux points qui ont le même plan har- 

 monique par rapport à deux surfaces générales des ordres n, et «j. Alors 



« = («, -i)% a'=(«3 — 1)% fi=^[?t,-i){n.,-i)\ P' = (»,-i)(«,-i)-. 

 » Le nombre des points qui ont même plan harmonique par rappoi l 



