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 aux deux surfaces données est donc égal à 



(„, _,):. + („, _ ,)î i^n, _,)+(„,-,)(„,-,)» + {n, - 0», 

 résultat bien connu. 



» 3. Jusqu'à présent nous n'avons considéré que les cas généraux; mais 

 il existe des cas particuliers où les théorèmes trouvés subiront des modifi- 

 cations, parce qu'il y a une infinité de points de coïncidence. L'équation 

 algébrique qui servirait à déterminer ces points contient alors un facteur 

 qui s'évanouit identiquement. Dans ces cas on peut se servir dos mêmes 

 procédés que nous venons d'exposer, pour déterminer les points de coïn- 

 cidence isolés. Nous nous contenterons de considérer ici les modifications 

 du théorème I sur la correspondance dans un plan, dues à ime courbe 

 de coïncidence, c'est-à-dire douée de la propriété qu'en chacun de ses 

 points coïncide un point X avec un point homologue X'. 



» Nous désignerons par y l'ordre de cette courbe et par o* la classe de 

 l'enveloppe deg droites joignant les points homologues X et X' qui sont 

 infiniment près l'un de l'autre, et infiniment près de la courbe de coïnci- 

 dence. 



» Alors le nombre des points isolés du plan où X coïncide avec X' sera 

 égal à 



,? - 7) -f- « + (S - 7) - f /3 - 7) - ^ =: a + a + /5 - 7 - fî, 



où la signification des différents termes du premier membre est suffisam- 

 ment expliquée par notre démonstration du théorème I. 



» application. — Soient données deux congruences de droites (collections 

 de droites dans l'espace qui satisfont à des conditions doubles), et soient m, 

 et m^ leurs ordres (les nombres des droites des congruences qui passent par 

 un point donné), n, et n^ leurs classes (les nombres des droites qui se 

 trouvent dans un plan). 



» Désignons par X et X' les points où un plan P est rencontré par des 

 droites issues d'un point mobile d'un autre plan Q. Alors on aura pour la 

 correspondance des points X et X' du plan P 



« = «'= m, rn.^, fi = [m, -+- //,) (Wa-4- n^). 



■» La droite d'intersection (PQ) sera une courbe de coïncidence m, m,'"'''* 

 de façon que 7 = m, Wj. 



» d sera égal à la classe de la surface développable, enveloppe des plans 



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