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 joignant les droites des denxcongruences qui se rencontrent sur des points 

 de la droite (PQ), ou bien S = m,m2-h in,n2-hntm2 (*). 



» Le nombre des points isolés où X coïncide avec X' est donc égal à 

 in,nu-i- n,n2. Or ces points déterminent les droites communes aux deux 

 congruences. Nous avons donc ici une nouvelle démonstration du théorème 

 de M. Halphen (**) sur le nombre de ces droites communes. 



» En appliquant les mêmes procédés à une seule congruence au lieu de 

 deux, on peut trouver une relation entre l'ordre (ou la classe) de sa surface 

 focale et les nombres de ses droites multiples. 



)) L'exemple que nous venons de considérer montre que l'application 

 du principe de correspondance dans le plan ne sera pas troublée par 

 l'existence de points isolés auxquels correspondent tous les points d'une 

 courbe. La remarque analogue s'applique au principe de correspondance 

 dans l'espace. 



» 4. On pourrait aussi considérer d'aulres espèces de correspondances 

 des points d'un plan ou de l'espace. 



» Si les points X (ou X'), correspondant à un point quelconque X' (ou X) 

 sont tous les points d'une courbe dans le pian, ou d'une surface dans l'es- 

 pace, d'ordre a (ou a'), on voit sans difficulté que le lieu des points de 

 coïncidence sera une courbe, ou une surface, d'ordre a -+- a'. Si, dans l'e-s- 

 pace, les points X (ou X') correspondant à un point quelconque X' (ou X) 

 sont tous les points d'une courbe d'ordre a (ou a'), et que la surface, lieu 

 des points correspondant aux points d'une droite, soit de l'ordre /3, notre 

 principe de correspondance dans le plan nous montre que le lieu des points 

 de coïncidence sera une courbe d'ordre a + «'+ p. » 



(*) On iKHit trouver ce nombre en cherchant les plans tangents ;i la surface développable 

 qui passent par un point quelconque de (PQ). Ces plans sont : i° les m, m, plans qui joi- 

 gnent les droites passant |)ar ce point; s^les/w, w, -4- «,/«, plans qui passent ])ar la droite (PQ) 

 et par des droites des deux congruences qui se rencontrent sur elle. On trouve ce dernier 

 nombre par le principe de correspondance simple. 



On voit, du reste, que les (î= a' -4- p —y — A-, «2 points de la droite (PQ) dont il s'aj^it 

 sont ceux de ses points d'intersection avec le lieu (d'ordre a' + p — y) des points X, tels 

 que XX' passent par un point O, pour lesquels X' coïncide avec X. On peut faire usage de 

 cette dernière considération en beaucoup d'autres cas. 



(**) Comptes rend us, t. LXXIV. 



