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» VI. Les triangles ont leurs sommets a, a' sur une courbe U,„, leur sommet a" 

 sur une autre courbe U;^,, et leur côté a" a' langent à cette courbe: leur nombre 

 est m [ni'(n' — 2) (m —1)4- ii'(m'— 2) (3ni — 2). 



a", m[Z m — 2) n' [m' — "i) (lemme "VI) «", 



a", [n' — 2) in[in — i) m', rt", 



m [(3m — 2) «'(/«' — 2) 4- [ni — i) m'[n' — 2). 



» YII. Les triangles ont leur sommet a" en un point d'intersection de deux 

 courbes U^^j, U,„^, lequel point est multiple d'ordre v sur la première, et d'ordre v, 

 sur la seconde, leur sommet a sur la courbe U,,,, et leur sommet a' sur U,„, : leur 

 nombre est (mm, — vv,). 



a', {m, — v,)a",{m, — v,)m a' 



5mm, — ami^, — am, v + vv,. 

 a', (2Wi, — V,) [m — v) a' 



Il y a 2(/H — v) {m, — v,) solutions étrangères dues aux [m — v) points a' 

 de U,„ situés sur chacune des droites menées du point a aux deux points 

 circulaires de l'infini. Il reste [mm^ — vv,). Donc, etc. 



» VIII. Les triangles ont leurs sommets a, a' sur deux courbes U,„, U,„^, et 

 leurs côtés aa", a' a" passent, le premier par un point O de U,„, et le second par 

 un point O' de U^, : leur nombre est (3inm, — 2niv, — 2m, v -+- vv,). 



a, (2/n, — v,)(m — v) a 



3WW, — 277iV, — 2m, V -f- vv,. 



a, aO, [m, — v,){m) a 



» IX. Les triangles ont leur sommet a sur une courbe U"„, leur côté aa' 

 langent à la courbe en ce point a, et leurs deux autres sommets a', a" sur une 

 courbe \],n^ : leur nombre est m, (3nm, -+- mm, — m — 2n). 



a", {2m, — i]Tim, a" 



u', (ni 4- n) m, [m, — i) a" 



m, (3/î/?2, + mm, ~ m — 211). 



j> X. Les triangles ont leurs sommets a, a' sur deux courbes d'ordre m, m', 

 leur côté aa" est tangent à la première en a, et leur côté aa' est tangent à ta 

 seconde en h' : leur nombre est n'(m + n). 



?i[m + n). 



a, Il n a 



a, II' m a 



» On peut aussi faire ce simple raisonnement : Les obliques de U,„ enve- 

 loppent une courbe de la classe (;«+«); il y a donc n' [111+11) obli(iues aa' 

 tangentes à la seconde courbe U"'. 



» XI. Les triangles ont leurs sommels a, a' sur deux courbes U,„, LJ,,,-, et 

 leurs côtés aa", a' a" sont les tangentes aux courbes en ces points : leur nombre est 



