( i6o/i ) 



mn 



ni 1) 



nn 



a. 11' m a 



nui' ■+- m' Il -h un' . 



3(w-i)= 



M Aulrement : Le côté aa' est une oblique aux deux courbes sous des 

 angles donnés : il coïncide donc avec les tangentes communes à deux 

 courbes de classes [m + n), [m' -^ 7^'), dont la première a une tangente 

 multiple d'ordre m, et la seconde une tangente multiple d'ordre ;n', à l'in- 

 fini; lesquelles ont donc [m + n) {ni' -h ii') — mm' = mn' -h ni'n -+• un' tan- 

 gentes communes. 



§ II. — Les (juatre conditions de similitude se rapportent a une même cocbbe. 



)) XII. Les tnancjles sont circonscrits à une courbe U",^, et ont leur sommet a 

 sur la courbe: leur nombre est an^ (m — 2) (n — 3). 

 » Cela résulte immédiatement du lemme II. 



» XIII. Les trianglesont leurs deux sommets a, a' sur une courbe U^, et leurs 

 côtés a a", a' a" passent par deux points fixes O, O.' de la courbe : leur nombre est 

 3(m - i)=. 



a, aO, (m ~- i)[m — 1) a 



a, [im — i){m — i) n 



» XIV. Les triangles ont leurs deux sommets a, a' sur une courbe U"„; leur 

 calé a a" est tangent à la courbe en a, et le côté a'a" passe par un point O de la 

 courbe : leur nombre est [m — i) (m -f- 2 n — i). 



et', a'O, }i{?n— ï) u' 



• [m — \){in -hin~ i). 



a {ni -i- ?i — i)[ni — i) a' '^ ' 



» XV. Les triangles ont leurs deux sommets a, a' sur une courbe U",, 

 et leurs côtés aa', a'a" sont tangents à la courbe : leur nombre est 

 n (m — 1) (3mn — 4m — 4" + 4)* 



a, {2nin — 2m — '5?i -h 2) 71 {m— 2) (lemme IV) «, 

 Ci, {ji — 2)n{m — 2){ni — i) a, 



7i{m — 2) {3m7i — 4 '« — 4'' 4- 4) 



» XVI. Lci trianglesont leurs deux sommets a, a' sur la courbe V,,,, leur côté 

 a a" est tangent à la courbe, et leur côté a' a" passe par un point O de la courbe 

 leur nombre at (m — i) (3mn — 2m — 5n 4-2). 



a', ri{77i — 2) {ni — i) a 



z', (2 77171 — 2 »i — 3 « + 2) {m ~\)a' 



jn 



1) (3mn — 2 771 — 5/i + 2). 



