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» Il y a 2('« — i) solutions étrangères dues aux deux positions de .r sur 

 les droites menées du point a aux deux points circulaires de l'infini. Il reste 

 m coïncidences de x et u. Donc le lieu des sommets o!' est d'ordre m. 



» On reconnaît immédiatement que la courbe a m points à l'infini, qui 

 sont dus aux //* points a' de la courbe sur la droite de l'infini. Ce qui suf- 

 firait pour prouver qu'elle est de Tordre m. 



» XX. Le nombre des triangles a a' a" qui onl leur sommet a en un point 

 fixe, et leurs sommets a' et a" sur une courbè^JJ,^, est m^. 



» Conséquence du théorème III ci-dessus, où l'on fait n' ^ i. 



» XXI. Le nombre des triangles semblables a a' a", qui ont leurs côtés aa', 

 aa" tangents à une courbe \]"', leur sommet a sur une courbe U"„ et leur côté a' a" 

 tangent à celte courbe, est 2n'^(mn — m — n). 



» Ce théorème général se conclura immédiatement du lemme suivant : 



» XXII. Lorsque le sommet a' d'un angle a a' a", de grandeur constante, 

 glisse sur une courbe U^, et que le côlé a' a" est toujours tangent à la courbe en 

 un autre point, le côté a'a enveloppe une courbe de la classe 2(mn — m — n), 

 qui a une tangente multiple cl' ordre m(n — 2) à l'infini. 



IX, m^n — 2j lU 

 lU, n{m — 2) IX 



» D'après cela, il existe 2n'{m/i — m — n) positions de l'angle, dans les- 

 quelles le côté a'n est tangent à une courbe U"', et il existe in'-{inn — in — n) 

 triangles semblables qui ont leurs côtés aa" tangents à la même courbe U" , 

 ce qui est le théorème XXII. 



» XXIII. Le nombre des triangles semblables a a' a", qui ont un sommet 

 lommiin a en un point d'une courbe LJ,„ et leurs deux autres sommets a', a" sur 

 cette courbe, est m'- — i. 



» Plaçant le point I en a, on a 



IX, (»Z-l)(2W-2) lu 

 lU, (Mi-l)(m-l) IX 



2 [mn — m — fi). 



'5yni — ij'-. 



» Il y a a(7ra — i) [m — 2) solutions étrangères dues aux droites IX pas- 

 sant par les deux points circulaires de l'infini. Il reste nr — i. 



« On vérifie immédiatement ce résultat par cette considération que le 

 lieu du sonunet «", quand le sommet a' seul est sur U,„, est une courbe 

 d'ordre m qui passe par le point fixe a, qui a donc ni- — i autres points 

 sur U,„. 



