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 tiques, avec les remarques de M. Liouville sur ce sujet, je suis parvenu k 

 une formule d'intégration indéfinie qui me paraît assez remarquable , 

 savoir : en prenant Q entier positif quelconque, je dis que l'intégrale 



P 



a une valeur algébrique 



{x + p)'"+''-')+< (^3c + p + q)-" X-'" (A + Bx + C j:= . . . + Kx®-' ), 



pourvu qu'une seule condition soit satisfaite par les quantités in,n,p,q. 

 Cette condition s'écrit sous la forme symbolique 



en dénotant ainsi l'équation 



[mJV"-" + 7 ['«f-' W P^"-- 7= + . . . + M" 7''= o, 



où, comme à l'ordinaire, [;«]'^ signifie in[m — i)...(/rt — Q+i). 



» Je rappelle que les formules de M. Serret ne contiennent que des 

 indices entiers, et celles de M. Liouville qu'un seul indice quelconque : la 

 nouvelle formule contient deux indices quelconques, m, n. Je remarque 

 aussi l'analogie de la condition ([m]^*+ [w]^-)''^ o avec celle-ci 



^(^)'"Ç"(ç-.r=o 



[m étant un entier positif), qui figure dans les Mémoires cités. 

 » Pour démontrer la formule, j'écris 



« = X-'" (A + B j: + Cx%..., + Kx^-'), 



et aussi pour abréger 



X = (a- + ;,)"'+"-0+' (x 4- /7 4- ([)-", 

 ce qui donne 



; K,^ — ^ = (^ + pyn^n-h /^^p^ q\-r,-, . 



(.r-f-/..)(x4-/j + 7) ^ rJ \ r 1/ 



L'équation à vérifier est donc 



ou, en diflérentiant et divisant par X, 



X' , {x + qy 



X i™^'(j: + /»)(x+/>-(-î) 



