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ou enfin 



où u' dénote ^- 11 ne s'agit donc que d'exprimer que cette équation ait 



une intégrale 



u = x-"'(A + Bx+ Cx= + ...+ Ka:«-'). 



» En supposant que cela soit ainsi, et en effectuant la substitution, les 

 termes en j:~'"+^ se détruisent, et l'on obtient une équation qui contient 

 des termes eii x''"'', x'"',..., x-'"+'^-', savoir {d -+- i) termes. On a ainsi, 

 entre les 6 coefficients A, B, C,..., K un système de {6 -f- i) équations li- 

 néaires, ce qui implique une condition entre les constantes m, «, p, q; 

 mais, celte condition satisfaite, les équations se réduisent à Q équations 

 indépendantes, et les coefficients seront ainsi déterminés. 



» Par exemple, soit = 2, l'équation différentielle est 



[ni — j p-\~m + n~iq-\-m— ix^u 



4- [p- + pq + x[2p + q) -H X-] u' = x-"'-' (r/ + x)% 



laquelle doit être satisfaite par u = Ax''" + Bx'"'-^*. Cela donne 



[m — ip + rn-\-n — I7)A, (m — ip+ni+n — lyJB, 



» > » , (m ~ i) A, {m — i)B 



-m{p-+pq)k, ~{,n-i){p^-}-pq)B, » 



» , ~m{2p+q)A, ~{m-i){2p-+-q)B, > =0, 



» , » , — niA, — {in—i)B 



-q^ , - 2q , -I , 



c'est-à-dire 



j -h [{m — i)p — nq]B + i A = o, 



2<7 4- (,n-i){p-+pq)B -^[{m+i)p- {n-i)q]A ^o, 



q^ -+- m {p- ~h pq)A — o, 



ce qui donne une condition, déterminant = o, et l'on a une condition de 

 cette même forme pour une valeur quelconque de Ô. 



» En formant, puis en réduisant les expressions de ces déterminants, 

 on obtient pour toutes les valeurs S = i, 2, 3, 4,... respectivement la suite 

 d'équations que voici ; 



