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ef ainsi de suite. Les notations ([in]p— [n]gy, {[>n]p~ [n](])',-.. ont des 

 significations semblables à celles de {[m]p--+- [n](]-y , {[fi]i)'-h[n]q-Y,..., 

 auparavant expliquées. On a, par exemple, 



{[.u]p - [n]qy- = [mfp^ - -Jim]' [n]' p<j + [ny-f,.... 



I) Considérons, par exemple, le deuxième déterminant : ceci contient 

 trois termes en i, 2^, q'^ respectivement; le premier terme est 



i.{m-i) {p- + pq) . m {p- + pq), 



c'est-à-dire 



[mYp^P + qY; 

 le deuxième terme est 



zq.— m{p- -h pq' [{m- 1) p - nq], 

 c'est-à-dire 



- ■i[m]'p{p-i-q)qi[m-l]p-[ri]qy; 



le troisième terme est 



f [(« -ip — nq) {m + I ^ - n-i q) - {m - i) (p= + pq% 

 c'est-à-dire 



q- [[m- — m)p- — 2 mnpq 4- («^ — n)q'^] — q- {[m]p — [n] qY, 



et de même le troisième déterminant est composé de quatre termes en 

 I, 3q, 3^^, q^ respectivement, lesquels sont les quatre termes de la pre- 

 mière expression transformée, et ainsi pour le quatrième déterminant, etc. 

 Au moyen de ces premières transformées, on obtient sans peioe les expres- 

 sions finales ( ['"]/'" + ["]'/")', {[m]p^ -h[n]q^Yf-- 



» En écrivant z — ^{p -h q) au lieu de jc, et puis i{p -h q) = a, 

 1^ (/> — 7) = rt, la formule devient 



'(z — a)'(zH-n)'"+"-V/9 



P 



(z — aj"+' (j;-)-a)"+' 



et la valeur algébrique 



= (z + a)'"+"-«-' (2 — a)--" (s + a)-«(A'+ B'z +...-1- A'z«-'), 

 pourvu qu'on ait entre les quantités m, n, a, a. la relation 

 j [m] (a + a)- + [n] (a — rz)- {^ = o. 

 » En écrivant = m, on^ a la formule de MM. Serret et Liouville, 

 laquelle, en y écrivant T" = Ç et T" = Ç — i, peut s'écrire sous 



