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 e, J, pourront être imaginaires conjugués. En chacun de ces points, le — 



est indéterminé : il en résulte que toutes les courbes du système y 

 passent. 



Nous verrons plus loin que ces points sont des points asymptotiques : 

 nous les appellerons les pôles du système. 



» Prenons au hasard deux points m et m' sur la même courbe ou sur 

 deux courbes différentes du système, et soit t le point de rencontre des 

 tangentes correspondant à ces points. En vertu du théorème T, les six 

 points m, m', t, e,J, g sont sur une même conique, et par suite le rap- 

 port anharmonique des quatre droites, mt, me, rnf, mg, est égal à celui 

 des quatre droites m't, ni'e, m'J\ m'g [*). 



» On a ainsi le théorème suivant : 



» Théorème II. — Toute courbe du sjstème (|x = i , v = i) est telle, que le 

 rapport anharmonique, formé par l'une quelconque de ses tangentes, et les trois 

 droites joignant le point de contact de cette dernière aux trois pôles du système est 

 constant. 



» Ce rapport anharmonique est le même pour toutes les courbes du système. 



» Nous l'appellerons, pour cette raison, le rapport anharmonique du 

 système. 



» Faisons une transformation homographique, de manière à faire coïnci- 

 der les points e etj avec les points circulaires à l'infini (ombilics du plan). 

 Les courbes du système transformé, en vertu du théorème II, jouissent de 

 cette propriété, que la tangente en chacun de leurs points fait un angle 

 constant, dans un sens de rotation déterminé, avec la droite joignant ce 

 point au pôle transformé de g. Les courbes transformées sont par suite des 

 spirales logarithmiques, décrites avec un même paramètre, autour d'un 

 même pôle, et dans un même sens de rotation. De l'équation en termes finis 

 de ces spirales on déduira, par une transformation homographique inverse 

 de la première, l'intégrale générale de l'équation (i). 



» Il résulte aussi de ce qui précède que le point g et par suite les points 

 e et f sont des points asymptotiques des courbes du système. 



» Ces courbes se présentant comme une généralisation de la spirale lo- 

 garithmique ou équiangle, nous les appellerons spirales équiharmoniques. 



» TiiÉORK.ME IIÎ. — V enveloppe des tangentes aux courbes du système [u. =: 1 , 



(*) Chasles, Sections coniques, Cliap. I, p. 3. 



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