( 1696 ) 



V = I ), flux points de rencontre de ces courbes avec une droite quelconque D, 

 est une conique tangente àD et aux trois côtés du triangle polaire. 



» (Nous appelons triangle polaire, le triangle efg formé par les trois 

 pôles.) 



)) On voit immédiatement que l'enveloppe considérée est une conique 

 tangente à la droite D. Pour démontrer que cette conique est tangente à 

 chacun des côtés du triangle efg, à e/ par exemple, soit h le point de 

 rencontre de D avec ef; la tangente à la courbe du système qui passe en h 

 doit former avec he, lif, hg un rapport anharmonique égal au rapport 

 anharmonique du système, et comme he et hj sont en prolongement, il 

 faut que la tangente en h coïncide avec ef. Donc, etc. 



» Soient m et m' deux points appartenant à une même courbe ou à deux 

 courbes différentes du système; mt, m' t' les tangentes en ces points aux 

 branches qui y passent. En vertu du théorème III, mt et m' t' sont tan- 

 gentes à une même conique, tangente elle-même à mm' et aux trois côtés 

 du triangle ejg. 



» Par suite (*), le rapport anharmonique du point m et des trois points 

 de rencontre de mt avec les côtés du triangle efg est égal au rapport anhar- 

 monique du point m' et des trois points de rencontre de m't! avec les mêmes 

 côtés du même triangle. Donc : 



» Théorème IV . — Toute courbe du système [p. =^ i , v =^ 1) est telle, que le 

 rapport anharmonique formé pur l'un quelconque de ses points et par les points 

 de rencontre de la tangente en ce point avec les trois côtés du triangle polaire, a 

 une valeur constante. Ce rapport anharmonique est le même pour toutes les courbes 

 du sjstème. 



» On peut ajouter qu'i'/ a la même valeur que le rapport anharmonique 

 formé par une tangente quelconque et par les droites joignant le point de contact 

 de celle tangente aux trois pôles du sj'slème. 



» Cette dernière propriété résulte de la propriété suivante du triangle, 

 qui nous paraît nouvelle : 



» Etant donné un triangle abc, dont les côtés bc, ac, ab sorU respectivement 

 coupés par une transversale aux points a', h', c' ; si Von prend un point quel- 

 conque O sur cette dernière, le rapport anharmonique (pi' elle forme avec les 

 droites Oa, (Jb, Oc est égal au rapport anharmonique des quatre points O, 

 a', b' c'. 



[* ] Cbasi-es, Sections coniques, chap. 1, J». 3. 



