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 à sa position primitive, M. Lucas énonce le théorème suivant : La demi- 

 force vive moyenne est égale au travail morphiqne moyen. 



» Qu'il me soit permis de dire quelques mots sur la relation qui existe 

 entre ce théorème et celui que j'ai eu l'honneur de communiquer à l'Aca- 

 démie en juin 1870, à savoir : la force vive moyenne est égale au viriel, le 

 terme force vive désignant ici la même quantité que celle que M. Lucas 

 nomme demi-force vive. 



» Les hypothèses faites par M. Lucas, relativement aux forces qui 

 agissent sur les points du système, quand ceux-ci sont écartés de leurs 

 positions primitives, renferment une condition mathématique très-simple. 



)) Soient «, Z», c ; «,, 6,, c,,.., les coordonnées primitives et a-i-JC, b-h)', 

 c -h z; a,-i-Xt, b,-\-j't, c, -f-z,,... les coordonnées actuelles de points 

 M, M,,... et X, Y, Z; X,, Y,, Z,,... les composantes des forces qui agissent 

 sur les points dans leurs positions actuelles; alors chacune de ces compo- 

 santes s'exprimera par une fonction homogène du premier degré des quan- 

 tités X, j-, z; X,, j'i, z,,..., et, par conséquent, la fonction de force ou 

 Vergiel U, dont M. Lucas suppose l'existence, s'exprimera (abstraction faite 

 de la constante arbitraire que l'on peut faire égale à zéro) par une fonction 

 homogène du second degré de ces mêmes quantités. Il suit de là que l'on 

 peut poser 



^^ I fdV dV dV dl] \ 



1 \dx dy " dz Uj-, j 



= --|(Xx-+- Y7 + ZZ+ X, :c, +...). 



i> En prenant les valeurs moyennes des deux membres de celle équation, 

 on peut encore mettre a + jc, b -h- y, c -f- z, a, 4- x,,... à la place de ce, 

 J, z, a:,,..., sans changer la valeur du second membre, parce que chacune 

 des composantes X, Y, Z, X,,... et, par suite, chacun des produits Xa, 

 Y b, Zc, X, rt,,... a la valeur moyenne zéro. L'équation exprime donc que, 

 dans le cas spécial considéré, l'ergiel moyen est égal au viriel. 



» Comme l'ergiel représente le travail morphique de M. Lucas, il s'en- 

 suit que la valeur moyenne de ce travail peut, dans ce cas spécial, rempla- 

 cer le viriel dans mon théorème. 



» J'ai déjà énoncé, à une autre occasion (i), que, dans certains cas spé- 



(ij Sur la réduction du second principe fondamenlal delà théorie mécanique de la cha- 

 leur à des principes généraux de Mécanique [Bulletin de la Société rhénane des sciences natu- 

 relles et médicales, p. 180, iS'jo; Annales de Poggendorff, t. CXLII, p. ^5o; traduit en 

 anglais dans le Philosophical Magazine, 4' série, t. XLII, p. 161). 



