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ANALYSE MATHÉMATIQUE. —Sur les s/stèmcs dejormes quadratiques; 



par M. C. Jordan. 



« Ce Mémoire est consacré à la solution des problèmes suivants : 



» 1° Réduire un système de deux fondions quadratiques V et P'. 



)) 2° Trouver les conditions d'équivalence de deux semblables systèmes. 



» 3" Déterminer les substitutions qui ti-ansforment l'un dans l'autre deux 

 systèmes équivalents. 



» La méthode par laquelle nous traitons le premier problème est plus 

 simple que celle dont s'est servi M. Kronecker; mais elle repose sur les 

 mêmes principes, et la solution des deux autres questions s'en déduit fort 

 aisément; aussi aurions-nous hésité à publier ce travail; mais nos scrupules 

 ont été levés par la lecture d'un Mémoire récent de M. Kronecker 

 [ Monatsbericht, mar^ iSj-^i). Cet habile analyste, après avoir contesté ce 

 que nous avions dit [Comptes rendus, i mars i8'j4 (i)] sur la simplicité 

 des principes dont cette question dépend, annonce, en effet, qu'il s'est 

 occupé de la transformation d'un système en lui-même, mais qu'il n'a 

 pas réussi à obtenir une conclusion complètement satisfaisante, et que, 

 dans l'étude de ce problème, il n'a pu tirer que peu de profit de son pro- 

 cédé de réduction. Pour qu'un géomètre aussi exercé ait pu méconnaître 

 ainsi, du même coup; la simplicité et la portée de sa propre méthode, il 

 faut évidemment que la question ne soit pas encore suffisamment élucidée. 



» Le Mémoire de M. Kronecker n'est d'ailleurs (sauf la rectification 

 d'une inexactitude que nous lui avions signalée) qu'une troisième et 

 longue critique de notre récent Mémoire sur les fonctions bilinéaires 

 [Journal de Liouville, li'i'j^). Ses observations ne sont pas toutes également 

 fondées. Ainsi, nous avons traité le problème de la réduction d'ui>e forme 

 bilinéaire par des substitutions orthogonales. M. Kronecker le reprend et 

 le ramène à un p-oblème analogue, relatif aux formes quadratiques et 

 dont la solution est bien connue. Ce procédé est assurément fort simple, 

 mais le nôtre ne l'est guère moins, et si nous l'avons préféré, nous ne voyons 

 pp.s qu'il y ait là matière à un grief bien sérieux. 



(i) M. Kronecker a relevé une phrase inexacte qui s" est glissée incidemment dans cette 

 Communication, relativement à la nature des substitutions qui transforment un système on 

 lui-même. Nous en avions nous-mème fait justice lonj^temps d'avance. Nous avons en effet 

 donné, dans notre Traité des subsliliitions, le tableau complet des substitutions linéaires 

 qui transforment une substitution linéaireenelle-mème, et nous avons fait voir, d'autre part 

 [loitrrii! (le Linui'ilk', iS"]^), que cette question est identique à celle de la transformation 

 des systèmes bilinéaires(à déterminant ^ o). 



