( 1764 ) 



» M. Kronecker nous adresse encore, pour la seconde fois, le reproche 

 de n'avoir pas montré que le problème de la réduction d'une forme bili- 

 néaire par des substitutions identiques, faites sur les deux séries de va- 

 riables, est un cas particulier du problème de la réduction simultanée d'un 

 système de deux formes. Cette objection nous étonne; car nous avons déjà 

 fait observer à notre éminent contradicteur, ce qu'il aurait d'ailleurs pu 

 voir facilement, que notre méthode de solution est précisément fondée 

 sur la décomposition de la forme donnée P en une forme symétrique Q, 

 et une forme gauche R, que l'on réduit simultanément. 



» Au lieu d'opérer cette réduction par la méthode générale, nous avons 

 cru pouvoir nous servir d'un procédé plus simple, auquel M. Kronecker 

 adresse une critique sérieuse. Nous nous servions de substitutions ayant 

 en dénominateur une expression de la forme sjà^ + ^^ +. . ., où a est un 

 coefficient différent de zéro; et il nous semblait que ce dénominateur ne 

 pouvait s'annuler. C'était un oubli; caries opérations précédentes exigeant 

 la réduction d'une forme quadratique R (déduite de P en y égalant les 

 deux systèmes de variables) à une somme de carrés pourront avoir in- 

 troduit des imaginaires dans les coefficients; nos résultats ne sont donc 

 légitimement démontrés que si R est une forme définie. 



» M. Kronecker passe ensuite au point principal de notre Mémoire, le 

 problème de la réduction simultanée de deux formes bilinéaires P et Q. Il 

 s'efforce d'établir que si nos résultats sont exacts, la démonstration en est 

 absolument insuffisante. Nous aurions omis en effet, dans tout le cours de 

 notre analyse, le cas où Q contient les rectangles des variables qui ne 

 figurent pas dans P. 



» Notre illustre critique s'étend avec complaisance sur cette objection, 

 qu'il croit décisive. Elle prouve simplement qu'il nous a lu un peu légère- 

 ment ; carie cas qu'il nous reproche d'avoir oublié est traité explicitement 

 dans notre Mémoire (n° 9). C'est le plus élémentaire de tous. 



» Notre méthode subsiste donc, et nous étions fondé à dire que la ré- 

 duction des systèmes bilinéaires est un problème fort simple. 



» Nous montrons aujourd'hui qu'il en est de même pour les systèmes 

 quadratiques; car nous n'employons, pour leur réduction, que les deux 

 principes suivants, qui sont, l'un et l'aulre, passablement évidents. 



» Premier principe. — Soit P = Qj. -+- B^^ + Q^, où Ç^j. est une fonction 

 quadratique de a-,,..., Xi„\ Q^ une fonction quadratique de j-,,. . ., /„, et 

 Bj;^une fonction bilinéaire en x e\ y. Si Q^ est identiquement nul, on pourra 

 mettre P sous la forme x^y^ -t- . . . -\r x^y^ +f{y\+\i- • •) > P^'' "" change- 

 ment de variable où les/ seront remplacés par des fonctions linéaires des/. 



» Deuxième principe. — Supposons, au contraire, que Q^soit ^o, et que 



