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 ment applicable aux systèmes simplifiés. Il les ramène dans ce but à la forme 



k=m—t 



I . .., 



*=I /, = ! 



oùO'et¥' sont des fonctions quadratiques des variables Sjm+aî ?2m+3i- 



tandis que^^ est une fonction linéaire de ces variables et de ^2A+2î ^2*+h 



La réduction consiste à faire disparaître successivement par des change- 

 ments de variables les fonctionsy,„_,,y^_2, M. Kronecker croit arriver à 



ce résultat de la manière suivante : Supposons qu'on ait déjày,„_, = o,..., 

 f^i+, = o; et soit cSoi^lv l'un quelconque des termes de^,^. On peut admettre 

 que la fonction P contienne un terme quelconque en ^,„ tel que «IjSv; alors 

 on fera disparaître le terme c^oii^v par '^ substitution a^^-{- ^c^2p.= €, i 

 si X^v, ou par la substitution nBi-h c^oii. = ?■» , si l^v. Mais cette méthode 

 présente un défaut manifeste, car si P contient plusieurs termes en |^ au 

 lieu d'un seul, la substitution qui détruit le terme cSoji^v dans l'expression 

 /i^en introduira d'autres. Soit par exemple^i^ = cSjji^v) et $'= {a^^-hb^if; 

 jamais on ne pourra annuler^j^ par le procédé indiqué. 



» On ne saurait douter, en présence des afârmations de M. Kronecker, 

 qu'il n'ait possédé dès 1868 une méthode de réduction pour les systèmes 

 en question; mais il est regrettable qu'il ne l'ait pas publiée à cette époque, 

 car on voit qu'il a quelque peine à la retrouver aujourd'hui. 



» Quel que fût d'ailleurs ce procédé, on peut affirmer qu'il exigeait 

 l'emploi, dans toute leur généralité, des deux principes que nous avons 

 énoncés, et qui sont les seuls sur lesquels repose la réduction des systèmes 

 quelconques. Considérons, en effet, le cas le plus simple, où la fonction <!>' 

 a son déterminant ^ o. Démontrer qu'on peut faire évanouir dans V 1,^^^ 

 les termes où figurent q2,n-hi-, ?2m+3»-'M c'est précisément établir le second 

 principe; quant aux autres termes, quadratiques en ço,..., |2m-2> ds ne 

 pourront s'évanouir que par l'application réitérée du premier principe. 



» D'ailleurs le cas où le système <ï>', W aurait son déterminant nul exi- 

 gerait une étude spéciale, et tout porte à croire que pour le résoudre sim- 

 plement, il faudra opérer simultanément sur toutes les variables qui figu- 

 rent dans Q sans figurer dans P, exactement comme dans le cas d'un 

 système quadratique quelconque. (Nous avons montré, au contraire, que 

 cela n'était pas nécessaire pour les systèmes bilinéaires, simplifiés ou non.) 



» Ces courtes observations suffisent à établir d'une manière décisive 

 que le travail de 1868, que M. Kronecker nous oppose, n'a avancé en rien 

 la question de la réduction des systèmes. Nous regrettons d'ailleurs que la 

 persévérance de ses attaques nous ait contraint à le démontrer aussi com- 



