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ANALYSE MATiliÎMATiQUE. — Sur lin polut (te In théorie des Jonctions abéliennes. 

 Note de iM. IIai.phkx, iJi-éseiitéo par ÎM. IkM'mitc. 



« Soit T(x,y) = o, une cqualion eiilière définissant l'irrationnelle y. 

 Les intégrales des fonctions rationnelles de x et j- se raii;éneiit, connue on 

 sait, à un nombre fini de transcendantes distinctes, parmi lesquelles il en 

 est qni ne deviennent jamais infinies. Leur nombre est le genre de l'irra- 

 tionnelle j', ou, en langage géométrique, le genre de la courbe T= o. Leur 

 recberche revient à celle des conditions que doit rem|)Iir un polynôme 

 J' [jc,j'), pour que les valeurs critiques des variables ne rendent pas infinie 



l'intégrale / — y-^ Celte recberche a été faite précédemment dans 



l'intégrale T^ 

 J ~L 



dy 



quelques cas particuliers ; je la fais ici dans le cas général. Mon analyse 

 repose sur deux transformations très-simples. 



» 1. Soit X -~ o,/ — o un système de valeurs critiques considéré. l'ar 

 livpotliésp, à ime valeur infiniment petite dex (du premier ordre) répon- 

 dent j)hisieurs racines ide l'équation T — o, infiniment petites. Si quelques- 

 unes d'entre elles sont d'ordre inférieur à l'unité, j'écarte cette particularité 

 en prenant, au lieu de x, pour variable indépendante x' = j:-t-a/. C'est 

 ma première transformation. En voici les propriétés. Les racines j infini- 

 ment petites forment, comme on sait, un ou plusieurs systèmes circulaires : 

 soit J, l'une d'elles, d'ordre inférieur à l'unité, et n la multi[)licilé du sys- 

 tème circulaire dont elle fait partie : j-, est une fonction uniforme de x", 

 son ordre est donc de la forme—) n, étant un entier qui, d'après l'hypo- 

 thèse, est infériein- à n. On en déduit aisément que j-, est une fonction uni- 

 forme de x'"''. Avec la variable indépendante x', j-, fait donc partie d'un 

 système circulaire de ti, racines. En d'autrvs termes, la multiplicité du sys- 

 tème circulaire considéré est réduite de (« — «,) unités. S'il y a d'autres 

 systèmes dans le même cas, leurs multiplicités subissent des réductions ana- 

 logues(«'— n',\.... Le nombre N des racines infiniment petites j- se trouve 

 ainsi réduit de s = fi — n 4- «, — n', -f ..., et devient N, — N — i'. 



» L'équation T[x,/) = o se change en T, (a',/) -- o, et, pour les valeurs 

 y satisfaisant, on a 



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