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» Soit a l'ordre d'infiniment petit auquel appartient — quand on y 



substitue î\ j l'une quelconque des n racines du même système que/,. Soit 



de même rtj le nombre analogue pour -^ [x' étant alors l'infiniment petit 



principal). Comme x' est d'ordre —■, on obtient, en égalant les ordres des 



deux membres de l'équation (i), 7?,n, — lia — [n — n,). De même pour 

 les autres systèmes circulaires. Si je pose donc A^ Iria, la sommation 

 s'appliquant à tous les systèmes circulaires, et que je désigne par A, le 

 nombre analogue après le changement de variable, j'ai A, =; A — S. 



» Le polynôme J'{ x, y) se change en un autrey, (x', j). D'après l'équa- 

 tion (j),j'ai maintenant à traiter la même question que précédemment 



pour l'intégrale / ' ' ' '; — — > .r et / étant liés par l'équation T, (x, y) — o. 



dy 



» Les N, racines infiniment petites de cette dernière équation étant toutes 

 au moins du premier ordre, il en résulte que, dans T, , les termes de degré 

 inférieur à N, manquent. Si donc \ est une constante arbitraire, T,(x, Xx) 

 est divisible par x^'. 



» 2. Soit /,- une racine appartenant à un système circulaire de multi- 



plicitep.; je pose, pour abréger, '^ ' 



L dr J,^^, 



» Pour les valeurs infiniment petites de x, U,- est une fonction uniforme 

 de x''. Pour que /U,f/x ne soit pas infini, il faut qu'il en soit de même 



[j — r 71! - I 



de X ^ U,-, et par suite aussi de x '" U,, m étant le plus grand des nom- 

 bres jj,, Qtji une racine quelconque de T, -- o. 



» La formule de la décomposition des fractions rationnelles me donne 



/i(x,Xx)^T,(x,Xx)2,~^-.- 



» Si je multiplie les deux membres par x '" , j'ai, dans le second, une 

 suite de termes dont chacun est un infiniment petit, au moins de l'ordre 



(N, — i). Il en est donc de même du premier membre x '" f^ (x, Xx), et, 

 par suite, de/, (.r, Xx). Donc, dam le polynôme J\, les termes de degré in- 



férieur à (N, - i) manquent. De là — — '■ conditions nécessaires. 



