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 » Ces conditions étant remplies, je remplace la variable y par la va- 

 riable ïj en posant y = tix. J'ai, en désignant par '> un polynùine, 



(2; 



/. [X,j) ^ :t'' -9 (^, •/,), T, (X, j) = x'^'ô (O-, -/î), 



J 't 



clj J dn 



C'est ma seconde transformation. En voici les propriétés : 



» Parmi les racines vj de l'équation G -- o pour x = o, il n'est évidem- 

 ment besoin de considérer que celles qui correspondent -à j ^ o. Elles 

 peuvent avoir plusieurs valeurs différentes. S'il en est ainsi, le problème se 

 pose maintenant pour plusieurs valeurs critiques; mais pour cbacune d'elles 

 le nombre des systèmes circulaires est moindre. Dans le cas opposé, le 

 problème n'a pas changé de forme. On remarquera que, dans le premier 

 cas, la somme des nombres analogues à A, pour les différentes valeurs cri- 

 tiques considérées, ou, dans le second cas, le nombre unique analogue et 

 relatif à l'équation Q — o, est maintenant, comme on le voit par la rela- 

 tion (2), égal à A, — N,(N, — i). 



» J'envisage le second cas, et j'observe qu'a[)rès avoir mis en évidence 



-, conditions auxquelles satisfait le problème /, je suis ramené au 



même problème, où le nombre A, a subi une diminution double N,(N, — i). 

 )) 3. L'emploi continu de ces deux transformations aboutira évidem- 

 ment, après un nombre fini d'opérations, à une séparation des valeurs cri- 

 tiques. A chaque application de la première transformation, on diiuiniie les 

 nombres A et N d'un nombre tel que s, sans découvrir aucune condition 

 nouvelle imposée au polynôme f. A chaque ap|)lication de la seconde, on 

 découvre, au contraire, des conditions imposées à ce polynôme, et l'on di- 

 minue du double le nombre A sans modifier N. Soient donc, après la trans- 

 formation qui opère la séparation, v, v',..., les multiplicités auxquelles sont 

 réduits les systèmes circulaires dont les multiplicités étaient primitive- 

 ment «, n\,..., K le nombre des conditions découvertes, a, a',... les 

 nombres analogues à A pour chacune des valeurs critiques considérées, on 

 aura 



(3) 2a = A- 2K--i(«-v). 



» J/a[)plicalion successive des mêmes raisonnements à chacune des va- 



