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 leurs critiques distinctes permettra de séparer finalement tons les systèmes 

 circulaires primitifs et de ramener l'intégrale proposée à autant de formes 

 distinctes, dans chacune desquelles à la valeur critique unique que l'on 

 a à considérer répond un seid système circulaire. On voit d'ailleurs aisé- 

 ment qu'à cause de sa forme linéaire l'équation (3) a encore lieu main- 

 tenant. 



» Je considère actuellement une de ces dernières intégrales r'soit a le 

 nombre analogue à A, et v la multiplicité du système circulaire qu'on y 

 envisage. En lui appliquant les mêmes transformations que ci-dessus, je 

 réduis constamment cette multiplicité qui finit par être l'unité; mais alors 

 la valeur critique cesse de l'être, et le polynôme du numérateur n'a plus à 

 remplir aucune condition nouvelle. D'ailleurs, le nombre analogue à « se 

 trouve ainsi réduit à zéro; si A est le nombre des nouvelles conditions 

 trouvées, l'équation (3), appliquée ici, donne o ~ «— aX"— (v — i). Les 

 autres intégrales donnent de même o = «' — aA'— (v'— i),...; d'où je 

 conclus 2(K + X- + A-'+ ...) = A — 3(« — i). Et enfin, en désignant par 

 t le nombre des systèmes circulaires primitifs,- /'«/, four le nombre total des 

 conditions nécessaires et suffisantes | (A — N 4- <). 



» Au point de vue géométrique, si l'axe des ^ n'est pas tangent à 

 la courbe T — o à l'origine des coordonnées, A est l'abaissement que ce 

 point produit dans la classe de la courbe, et N est sa multiplicité. Par 

 suite; 



» Pour une courbe algébrique plane quelconque, dont p est le genre, c la classe, 

 m le degré, 31, la somme des multiplicités des points singuliers, et T la somme des 

 nombres de systèmes circulaires formés par les branches de la courbe en ces 

 points, on a 2[p — i) — c ~ 2m -h 3X= — T. 



» Je ne donnerai ici qu'un exemple. Soient a^, «j,..., «^ des constantes 

 différentes entre elles, et a, b,, h^,..., b^ des nombres entiers positifs, et 



l{jc,f)=:r'' — {x— a,)'',[x — a.f^-...{x- «;,)*( = o. 



On doit naturellement supposer que les nombres a, i,,.,. b/, ont pour plus 

 grand commun diviseur l'unité, sans quoi l'équalion serait décomposable. 

 Cela étant, en désignant par A le plus grand commun diviseur de n et de 

 b,-h b^... + b/,, et par 5,- le plus grand commun diviseur de a et de /;,, on 

 aura 2(/j — i) = «(A — i) — A — 25,-. » 



