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ANALYSE. — Inlérjrntion géométrique rie l'équalion ]j{.T(fj —jcl.x) — Mr/j 

 -f- N^.r = o, dans laquelle L, M et N déskjnent des Jonctions linéaires 

 de X et y. Note de I\I. Foithkt, présentée par î\l. Chasies. 



« L'étude géométrirpic dos systèmes de courbes, définis par les équa- 

 tions différentielles algébriques du premier ordre à i\e\\\ variables, nous 

 parait de nature à éclairer et à faciliter, dans beaucoup de cas, la recherche 

 de l'intégrale générale des équations de cette forme. Nous nous proposons, 

 dans cette Note, d'en donner un exemple, en intégrant, pour ainsi dire 

 géométriquement, l'équation 



(r) ' L{xdj—rdx) — Mclj-J!-^fïx = o, 



dans laquelle L, M et N représentent des fonctions linéaires de .r et y. 



[ Ij = a H- n'x -\- n")\ 

 (2) ■ M ^- i + b'x -\- h" y. 



N -- c H- c' x -f- c"j. 



» Il existe d'ailleurs plusieurs méthodes analytiques pour intégrer cette 

 équation, la |)reniière en date, aussi élégante qu'ingénieuse, a été donnée 

 par l'illustre Jacobi ("). 



» Ainsi que nous l'avons établi précédemment, l'écpiation (i) définit le 

 système général de courbes, à caractéristiques ^a = i, v = 1 ; et ce système 

 jouit, entre autres propriétés, de la suivante, qui nous servira de point de 

 départ ("). 



» Toute courbe du système {[j. ■=: ^ ,v = i) est telle, que le rapport anharmo- 

 nique formé par l'un quelconque de ses points, et par les points de rencontre de 

 la Innqente correspondante, avec les trois côtes d'un certain trianqlc [trianqle 

 polaire), n une valeur constante. 



n Ainsi donc, ejg étant le triangle polaire, p, q, r les points où les côtés 

 y»' ge, p/^de ce triangle sont respectivement rencontrés par la tangente nif 

 en un point m d'ime courbe du système, on a 



(3) — • -^ = P' 



(*) Journal tic Crellc, t. XXIV, p. i; anni'-o \W\i.. Voir rjjaloiTienl Serrf.t, Calcul dijlfv- 

 rrnticl cl inlégrnl, I. II, p. /p'). 



(**) Cnmptrx rendus, I. LXXVIII, p. iCi^'B. Noms .ivions ilcjà indlipii- dans ccUc Noie, 

 une premii;re méllioilc d'intégration, fondée sur l'iinmograpliie. 



C. R., 187/1, I" Semestre. (T. I.XXVIil, N» •IG.) "i^"] 



