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 aii|)jjose pas de racines égales à l'équation (5), il faul que l'on ait 



Par suite, la droite 



u,-i- ft,jc + Vijr ^ o 



passe par le point J^. Nous démontrerions pareillement qu'elle passe par 

 le point g ou [x^, y^). Donc elle coïncide avec la droite yg, u — o. 



» En résolvant les équations (i3), on eu déduit très-aisément un sys- 

 tème de valeurs de «, /3, y, correspondant à chaque racine de l'équation 

 en X, et l'on a finalement 



/ a —{d—hl, + \\)-h{d'-\-a'l,)x+{d"'ha").,)j\ 



(i4) »' =[d- h-k.-^Xi) -^{d' + a'l.:)x -^^ [d" -\- a"l.^y, 



\ w=[d-}tl,^Xl)-^[d' + a'l,)x \'{d" + a"l,)y, 



en faisant, pour abréger, 



b'c" - b"c' =^d, 



c'a - a"c'=^d', 



a'b" ~ a"b' = d", 



b' -\- c" — h. 



» Pour trouver la valeur de p, considérons le pouit / à l'infini dans la 

 direction L = o. Nous avons démontré antérieurement (*) que le rapport 

 anharmouique p est égal au rapport anharmonique formé par la tangente 

 au point / à la courbe du système qui y passe, et par les droites joignant 

 ce point aux points e, f , g. Or la tangente en l à la courbe qui y passe 

 coïncide avec la droite de l'infini. On a par suite, en désignant par e',/', g' 

 les points de rencontre de l'axe des j" avec les droites le, IJ, /g, 



(i5 p = -^ = . -1 i—fj 



» En substituant ces expressions dans l'équation (7), on obtient finale- 

 ment l'uilégrale de l'équation (i) sous la forme très-symétrique 



(16) M"''■-^^;'^-'^tv^-'^= /.. 



C'est le résultat trouvé par Jacobi. » 



(*) Loc, cit., ]). 1696. 



