— 171 — 



его стать-Ь «О прпблпженномъ вычисленхп опред'Ьленныхъ интеграловъ п 

 т. д.». (Варшавская Университетская Изв-Ьспя, 1887 г.). 



Кром'Ь указанныхъ Формулъ можно построить безчислепное множество 

 другихъ, нзъ которыхъ каяадая можетъ служить съ большей пли меньшей 

 выгодой для вычпслешя опред-Ьленныхъ интеграловъ. 



Точность вычислен1я завпсптъ отъ того, какимъ образомъ изм-Ьняется 

 остаточный членъ В^ Формулы квадратуръ съ возрастан1емъ числа п. 



2. Изсл^дован1е Формулъ механическихъ квадратуръ приводить къ 

 двтмъ слЬдующпмъ основнымъ задачамъ. 



Задача (А). Найти обгцгя г/словгя, при которыхъ въ данной формулгь 

 квадратуръ, или въ группгь ихъ, объедипепныхъ какимъ либо общимъ призна- 

 комъ, плг1, накопецъ, въ любой изъ возможиыхъ остаточный членъ К^ стре- 

 мится къ нулю при безпрвдплъиомъ возрастанги числа п. 



Подобная задача была, напр., поставлена Т. 811611] ез'омъ для часг- 

 наго случая Формулы Гаусса. 



При помощи весьма остроумнаго анализа 8иеи]е8 показалъ, что 

 остаточный членъ этой формулы всегда стремится къ нулю, какова бы 

 ни была функцгя /" (ж), интегрируемая (въ смыслп Римана) въ данномъпро- 

 меокуткть, или, какъ мы будемъ говорить, Формула Гаусса сходится для 

 всякой интегрируемой Функп,1и '. 



Другая задача, практически весьма важная, состоитъ въ сл-Ьдующемъ: 



Задача (В). Найти для каждой данной формулы механическихъ 

 квадратуръ, гми для извпютной группы ихъ, или, наконецъ, для всгьхъ 

 такихъ формулъ точное выражвнге остаточнаго члена Е^, когда функцгя 

 ( (х) допускаетъ производныя различныосъ порядковъ. 



Задача эта р'Ьшена, въ частности, для Формулъ Гаусса и иыъ подоб- 

 ныхъ и для упомяпутыхъ выше Формулъ А. А. Маркова, если не оши- 

 баюсь, впервые А. А. Марковымъ. 



Другихъ изслЪдовап1й, касающихся общихъ задачъ (А) п (Б), на- 

 сколько я знаю, до посл-§дняго времени не было. 



Даже для весьма употребптельныхъ Формулъ Котеса и Чебышева 

 пе выведено выражен1я остаточнаго члена В^. 



3. Попытка паргги дополнительный членъ Формулъ Котеса п Чебы- 

 шева безъ труда привела къ общему рЬшенш задачи {Б), когда за 

 исходный пунктъ суждешй была принята одна весьма простая Формула, 



' т. I. 811еи]ез: «С^иеЦиез гесЬегсЬез зиг 1а 1Ьёог!е ^^!^ 4иас1га1игез йНеБ тёсап!- 

 диез ». Аппака ^е 1'Ксо1е Когта1е, Ра118, 1884, Ш зёпе, Т. I. 



Из1>±чш П. А. П. 1910. 13 - 



