— 176 — 



Иолучаемъ теорему: 



Бся/.ап формула механическихъ квадратург, коэффицгенты которой 

 подчинены условгю {14), сходится для любой функцги /"(ж), непрерытой 

 во даптмо промежуттъ (а, Ь). 



Замччанге. Эта теорема недавно доказана инымъ способомъ Н. М. 

 Крыловымъ', который воспользовался приемами и н-Ькоторыми результа- 

 тами мопхъ нзсл4дованш, опубликованныхъ въ мемуарахъ «8иг 1а Ихёог^е 

 г1е {епгкЧиге е1с.» и «^ие1^ие8 аррИсаНопз поитеИез с1е 1а Йёопе йе Гег- 

 теи1ге е1с.» (Мет. с1е ГАсай. йез 8с1епсе8 йе Ре1го§га(1 С1. РЬ. М., 1914). 



Н. ]М. Крыловъ указываетъ также, что разсматриваемая теорема 

 была раньше установлена Я. В. Усненскпмъ въ его литограФированпомъ 

 курсЬ «Исчислетя конечныхъ разностей» (въ 1914 году) при помощи тео- 

 ремы Вейерштрасса, которую Я. В. Успенский принимаетъза исходный 

 пункть. 



Прнведенныя выше (вкратц-Ь) разсужден1я доказываютъ элементар- 

 нымъ путемъ теорему о сходимости Формулъ квадратуръ разсматрпваемаго 

 нами класса для всЬхъ непрерывныхъ Функцш, не касаясь теоремы Вейер- 

 п1трасса. Наоборотъ, эту посл'Ьднюю мы ыожемъ вывести, если угодно, въ 

 н-Ьсколькихъ словахъ пзъ Формулъ (я) и (8). 



7. Ограничимся теперь разсмотрЬн1емъ совокупности вспхг возмож- 

 ныхъ формулъ механическихъ квадратуръ съ полооюительпыми коэффицген- 

 тами ^^, и предположпмъ, для простоты, что р{х)= 1. 



Къ любой изъ нихъ несомп-Ьнно приложима теорема предыдущаго §». 



Пользуясь этпмъ обстоятельствомъ, не трудно установить следующее 

 предложе11!е: 



Если будемъ дгьлить данный промежутокъ {а, Ь) на п составляющнхг, 

 то при возрастанш числа п ординаты й^ въ формулахъ квадратуръ сь 

 полоо/ттельными коэффицгентамц должны располагаться такъ, что въ 

 каждый составляющгй промежутокъ попадешь по крайней мпргь одно зна- 

 ченге «д., за исключенгемъ, быть моо/сетъ, некоторой совокупности проме- 

 жутковъ, сумма длгшъ которыхъ можетъ быть сдплана меньгией любого на- 

 передъ задаинаго числа, при достаточно болыаомъ п. 



Отсюда, какъ сл1;дств1е, можетъ быть выведена такая лемма: 



Пусть (а, р) есть какой-либо промеокутокъ, произвольно взятый 

 внутри даннаго промежутка {а, Ъ); пусть 



• «о сходимости Формудъ механическихъ квадратуръ и в'Ькоторыхъ относящихся 

 сюда вопросахъ». Записки Горнаго Института, Т. VI, вып. 1, 1915, Петроградъ. 



