— 765 — 



ныхъ. Если на лицо имеется несколько равныхъ кратчайшпхъ разстоян1й, 

 то проводимъ пхъ ВС"!, если они не пересекаются п — ни одного, если он-Ь 

 пересЬкаются. 



Мы поыйстпли исходную точку въ случайномъ полоя;ен1ц по отно- 

 шению къ эленентамъ симметр1п и получили иавную систему точекъ и 

 планатомовъ ; если же исходная точка будегь лежать на какомъ-лпбо эле- 

 мент-Ь спыметрхи, то мы получпмъ подттенныя системы точекъ и плана- 

 томовъ. Каждой главной системе можетъ быть подчинено несколько сп- 

 стемъ п наоборотъ, каждой подчиненной системе можетъ соотвЬтствовать 

 несколько главныхъ. Главныя системы, такпмъ образомъ, совершенно такъ 

 же относятся къ свопнъ подчпненнымъ, какъ въ кристаллографы общ1я 

 простыл Формы къ частнымъ. Зам-Ьтимъ, что симметр1я системы точекъ и 

 планатомовъ можетъ оказаться выше, ч-Ьмъ симметр]я исходнаго класса; 

 это мы можемъ непосредственно наблюдать на выведенныхъ ниже системахъ 

 планатомовъ. 



Проступимъ теиерь къ построеп1ю отдельныхъ случаевъ системъ пла- 

 натомовъ, начавъ съ гексагональной симметрьи. 



Классъ Щ. Помещая исходную точку внутри прямоугольника пзъ 

 плоскостей симметр1и (рис. 2), получимъ систему планатомовъ, изображенную 

 на рис 3. Легко видеть, что данная система планатомовъ соотвЬтствуетъ 

 р-Ьшенхю Л"? 2 основного уравнетя и является главной для разсматривае- 

 маго класса. Помещая точку последовательно на гипотенузе, большомъ п 

 маломъ катете того же треугольника, получпмъ соответственно подчпненныя 

 системы, изображенный на рисункахъ 4, 5, 6 и удовлетворяющ1я рЬше- 

 н1ямъ: Л*;: 7, Ли 4 и Л*?. 1. На рис. 5 мы имеемъ систему шестиугольниковъ 

 двухъ родовъ; легко, однако, видеть, что въ частномъ случае, когда 

 исходная точка будетъ лежать отъ вершины прямого угла на разстоян1п, 

 равномъ Уз большого катета, мы получимъ систему, состояш:ую исключи- 

 тельно пзъ правильныхъ шестиугольниковъ (рис. 8). Вирочемъ, этотъ случай 

 будетъ нами выведенъ п иначе. Поместимъ теперь точку на осяхъ 2, 3 и 

 6 порядка, или, что все равно, въ вершинахъ угловъ въ 90°, 60° и 30° все 

 того же треугольника плоскостей; мы получимъ Фигуры, изображенный на 

 рис. 7, 8 п 9 и соответствующ1я Л> 5, № 4 и Л'^; И решенш основного 

 уравнен1я. Мы помеш.али исходную точку последовательно па всехъ пло- 

 скостяхъ и осяхъ симметр1И, но оставили безъ вн11мап1я плоскости скольжепхя. 

 Нетрудно видеть, что, помещая исходную точку на плоскости симметрхи, 

 мы получаемъ вдвое меньше точекъ, чЬмъ въ главной системе; точно 

 такъ же, если исходная точка лежптъ на оси, то общее число точекъ будетъ 



Ызс1ст1л П. Д. Н. 1910. 



