— 756 — 



1' — 2 прибавлен1й новыхъ граней пзм'Ьняютъ число реберъ въ сравнении съ 

 числомъ вершпнъ. Число реберъ возрастетъ при этомъ въ сравнен1п съ чпс- 

 ломъ вершпнъ на Ъ^ — 2, т. е. К=Е-*-{Р — 2). 



Теорема II. Для пзогоновъ К = ^Ц^-» ^^^ ^ есть число реберъ, схо- 

 дящихся въ каждой вершпн-Ь пзогона. 



Доказательство. Если въ каждой вершин-Ь сходится по Ж" реберъ, то 

 въ Е вершпнахъ, казалось бы, сойдутся 31-Е реберъ. Пропзведен1е 31-Е, 

 однако, сл1;дуетъ разд'блпть на 2, потому что каждое ребро соедпняетъ 

 2 вершины и при подсчетЬ повторяется 2 раза. Итакъ 



К^"^ 2) 



Теорема Ш. Л/< 6. 



Доказате.гьство. Обозначпмъ сумму всЬхъ плоскихъ угловъ пзогона 

 черезъ 2Р. Если бы всЬ грани его были треугольниками, то 5^Р равня- 

 лась бы 2й-Е^ но среди граней могутъ быть и четыреугольнпки, и пяти- 

 угольники и т. д.: ПОЭТОМУ 



1Р>2(г.Г. 



Разд'йлпвъ 1;Р на Е, получимъ сумму плоскихъ угловъ при каждой вер- 

 шин'б пзогона, которая меньше Ы: 



Отсюда 



2>| 3) 



Подставпмъ въ Формулу Эйлера изъ выражеп1я 2) значен1е для К; 

 получае^гь 



Ж=2 (1-^5-1). 



Принимая во вниман1е неравенство 3), это последнее равенство пре- 



образуемъ въ 



Ж<2 (1-»-2— I); 



отсюда 



ЗК6 4) 



Такъ какъ въ каждой вершине многогранника не можетъ сходиться 

 меньше трехъ реберъ, то единственно возможными для Ж значен1ями явля- 

 ются 3, 4 и 5. Изъ этой теоремы сл-Ьдуеть также, что въ изогон-Ь не мо- 

 жетъ быть бол^Ье пяти различпыхъ по наименован1ю граней. Теперь выве- 

 демъ вс'Ь изогоны посл-Ьдовательно полагая Л1= 3, 4. 5. 



