— 760 — 



Посмотримъ теперь, сколько граней наиыеноваихя р тхЫтъ пзогонъ. 

 Если при каждой вершин-Ь у него такихъ граней пересекается п , то при 



Е вершинахъ мы встр-Ьтимъ пхъ -^—. 



Произведен1е и -^^ нужно делить на^; потому, что каждая грань на- 

 вменованхя 2^ пм-Ьетъ и р вершинъ, а потому сосчитывается р разъ. Если 

 мы пожелаемъ знать не абсолютный значеп1я чиселъ граней даннаго напме- 

 нован1я, а отношен1е этихъ чиселъ для граней разлизнаго наименования, то 

 прпдемъ къ отношен1ю 



р ' а ~ р • д. ' "'' 



т. е. число граней даннаго наименования въ изогоп-Ь пропорщонально числу 

 этихъ граней при каждой вершине и обратно пропорционально напменовангю 

 грани. Для притупленнаго кубо-октаэдра, изображепнаго на рис. 1, отно- 

 шеше числа четыреугольниковъ къ числу шестиугольниковъ и къ числу 

 восьмиугольниковъ будетъ равно 



— : 7^ : --=6:4:3. 



4 6 8 



Въ числителяхъ дробей стоятъ зд'Ьсь единицы потому, что при каждой 

 вершин-Ь прптупленнаго кубо-октаэдра мы им'Ьемъ по одному четыреуголь- 

 нпку, шестиугольнику и восьмиугольнику. На этомъ мы п закончпмъ раз- 

 смотр'Ьн1е изогоновъ и изоэдровъ ц перейдеыъ къ главной задач-§. 



Выводъ всЬхъ возможныхъ случаевъ заполнен!я плоскости планатомами. 



Предыдущ]й выводъ тпппческихъ пзогоновъ сводится къ заполнению 

 всЬмп способамп поверхности шара сферическими многоугольниками при 

 условхи, чтобы въ вершинахъ сходились равные или симметричные комплексы 

 дугъ. Поставимъ себ-^ теперь ту же задачу, но не для поверхности шара, 

 а для плоскости. Будемъ называть пучконъ прямыхъ совокупность отр-Ьз- 

 ковъ прямыхъ, сходящихся въ одной точкЬ. Пучки будутъ равны пли симме- 

 тричны, если пхъ можно совместить наложен1емъ или отражен1емъ. Поста- 

 вленная задача Формулируется теперь такъ. Найти всЬ способы заполнен1я 

 плоскости многоугольниками безъ промежутковъ такъ, чтобы въ каждой 

 вершни-Ь любого многоугольника сходились равные плп симметричные пучки 

 прямыхъ. Эти многоугольники мы будемъ называть планатомами. 



Основная теорема IV. Для безгранично большой части плоскости, 



