— 761 — 



сплошь заполненной многоугольнпкамп, Е-\-Р=К, гдЬ Р, Е а К озна- 

 чаюгь соотв'Ьтственно числа многоугольнпковт, пхъ вершпнъ п реберъ. 



Доказательство. Возьмемъ какой-нибудь многоугольнпкъ п будемъ 

 пристраивать къ нему остальные Р— 1 многоугольниковъ. Каждый новый 

 многоугольнпкъ прибавляетъ сторонъ на единицу больше, ч'Ьмъ вершинъ. 

 СлЬдовательно для плоскости, заполненной многоугольниками, мы имЬемъ 



равенство 



К=Е-*-{Р—1), 

 пли 



Е-+- Г . 1 



При пропзвольиомъ увеличен1и части плоскости членъ -^ можно сд^- 



лать сколь угодно малымъ; л-Ьвая часть равенства при этомъ не стремится 

 къ нулю, такъ какъ вм4сгЬ съ знаменателемъ возрастаетъ и числитель. 



Пренебрегая дробью ^, им'Ьемъ 



Е-ь-Р=К 9) 



Теорема V. Для плоскости, заполненной планатомами, 3/^6, гдЬ 31 — 

 число реберъ пучка. 



Доказательство. Очевидно, ч'Ьмъ меньше углы многоугольниковъ, гЬмъ 

 большее число ихъ, а, следовательно, и реберъ, можетъ сходиться въ одной 

 вершин-Ь. Изъ всЬхъ многоугольниковъ треугольнпкп им-Ьютъ наименьшее 

 углы, поэтому въ случа'Ь заполнен1я плоскости одними треугольниками, 

 Жбудетъ наибольшимъ. Такъ какъ сумма угловъ пучка равна 4-й, а среднее 



значен1е угла треугольника равно -д-, то Ж=4й : -^ = 6. Въ общемъ же 



случа'Ь 



Д1<6 10) 



Мы им'Ьемъ право брать зд'Ьсь среднее значен]е угла потому, что веб 

 пучки по услов1ю равны между собой. 

 Теорема VI. 



К='^ 11) 



Доказательство. Если въ каждой вершине сходятся М реберъ, то въ 



Е вершинахъ сойдутся ^Ц— реберъ. Пропзведен1е ЛГ-Е' нужно разд'Ьлить на 



2 потому, что каждое ребро соединяетъ 2 вершины п при подсчегЬ повто- 

 ряется 2 раза. 



Изв*С1:я п. А. Е. 1910. 



