— 837 — 

 гд'Ь введено сл'^;дующее обозначение 



(180 -^р(^) = :^р(^)1-ь>>'А;_,(х)|, 



а ^ означаетъ, очевидно, нЬкоторое число, не выходящее изъ промежутка 

 (-1,-н1). 



Формулу (18) можемъ переписать въ впдЬ 



Это равенство даетъ точное выраженге остаточнаго члена въ разло- 

 окенш любой функцги /"(.г), импющей пропзводныя газныссъ порядповъ въ 

 промежутюь ( — ], и- 1), въ ряда по полиномамъ Лежандра, выраженге, 

 содержащее только одну неопределенную величину ^. 



5. Равенство (19) можно представить, еслп угодно, п въ другомъ 

 вид-Ь, благодаря указанны мъ выше свопствамъ введенной нами Функц1и ©(а) 

 [рав. (3)]. 



Такъ какъ 



для вс1Ьхъ значешп .т промежутка ( — 1, -+-1), то прп всякпхъ чпслахъ 

 X и С', принадлежащихъ этому промежутку, можно наптп соответственно 

 два другихъ числа ^' п V въ томъ же самомъ промежутк'Ь такпхъ, что бу- 

 детъ, при всякомъ | ж | < 1 , 



(20) ^(р) СО I х^ (X) 1 -н фС) (С) \ ! х^,_, (^1 \ = ъ^'''> (Г) -*- 9^") (Г). 



Такъ какъ, далЬе, всякимъ двумъ возможпымъ значен1ямъ ^' и Н" всегда 

 найдется, въ силу указанныхъ выше свойств !> Функщп ф(г), соотв-Ьтствующее 

 число I, въ промежутк'Ь ( — 1, -+-1), такое, что 



<р(Р)(?')_^.^(р)(Г)=2 9(^)(^;), 



то, на основашп (18) и (20), можемъ писать 



Изв1)ст1я И. А. Н. 1910. 



