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y sean, además, KL una recta fija, definida por la ecuación .v=: — R^, 

 y OD otra recta, móvil, que pase por el punto O, origen de las coordena- 

 das. Si tras de esto señalamos el punto 31, de manera que OM sea igual 

 á ED, el lugar geométrico de las distintas posiciones de M, cuando la 

 recta OD varía de situación, girando alrededor de O, será la cúbica re- 

 presentada por la ecuación (16 1. 



En efecto: si p^ = OD, p2== OE,y p = OM, hallaremos, lepresentan- 

 do por & el ángulo de MO con el eje de las abscisas, que 



p = Pi — p2J Pi + (-^2 — í*o)cos0 — Q.¿sen^ = 0; j p.^cosB = — R.^. 



Y, eliminando Oj y p^ entre estas ecuaciones, y contando con que .r = pcosfl 

 é ¿/ = psenO, obtiénese la ecuación (16) de las cúbicas circulares unicursales. 



La forma de la curva así resultante depende de la posición de la recta 

 fija KL. Repitiendo, á título de ejemplo, lo ya expuesto en términos gene- 

 rales al tratar de las cisoides en el Núm. 17, advertiremos que, si aquella 

 recta corta á la circunferencia ODA, la curva poseerá un punto doble 

 en O, y las tangentes á la curva en este punto pasarán por los puntos de 

 intersección de KL con la circunferencia. La cual será una estrofoide, si 

 KL pasa por el centro C de la circunferencia; ó semejante, en la forma, 

 á la estrofoide en cualquier otro caso. Si la recta KL es tangente á la cir- 

 cunferencia, las intersecciones de KL coinciden, y la curva posee un punto 

 de retroceso en O: caso de la cisoide. Y si la recta KL no corta á la cir- 

 cunferencia ni le es tangente, O será, ciertamente, un punto de la curva; 

 pero, en los alrededores de este punto, la curva resultará imaginaria. El 

 punto O será, pues, entonces un punto aislado de la curva resultante. 



Adviértase asimismo que, por ser 



dp _ dOD dOE 



fíO ~ dfi d^' 



el método explicado anteriormente para trazar las tangentes á la cisoide, 

 á la estrofoide y á la trisectriz de Maclaurin es aplicable á todas las cúbi- 

 cas unicursales circulares. 



55. La rectificación de las curvas que estamos considerando depende 

 generalmente de integrales elípticas, como ahora veremos. 



