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//' + A» I P., + R,) + h-^ I n R., — - QJ) = 0. 



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De donde se infiere que, en este caso, dos, por lo menos, de las series 

 de círculos, consideradas en el Núm. 43 , y de que la curva es envolvente, 

 coinciden. 



Adviértase además que los círculos que pasan por el punto doble de la 

 curva, y son tangentes á la misma curva en otros puntos, tienen cuatro 

 puntos comunes con la cúbica, reunidos en dos; y por eso el análisis del 

 Núm. 43 determina, no solamente los círculos bitangentes, sino también 

 los que, siendo no más que tangentes, pasan por el punto doble. Luego la 

 curva es, en el caso de que se trata, envolvente de tres series de círculos, 

 en general: bitangentes cuando no pasan por el punto doble; y nada más 

 que tangentes cuando pasan por este punto. 



Si la cúbica considerada tiene un punto de retroceso, las series de cír- 

 culos, á que venimos refiriéndonos, redúcense á dos. Pues derivando dos 

 veces, con relación á jc, la ecuación (16), y poniendo luego x = é y^O, 

 los valores de y' en el origen de las coordenadas se hallan representados 

 por la expresión 



Q^±yQ./-i P,R., 

 2R., 



¡I z^ » ".a 2 2 



¡J o 



Luego las dos tangentes á la curva en este punto coincidirán una con otra, 

 y el punto será de retroceso, si 



En cuyo caso la ecuación que determina los valores de h tendrá tres raí- 

 ces iguales á cero. 



52. El método expuesto en el Núm. 49 para determinar los focos de 

 las cúbicas circulares, es siempre aplicable á las curvas de este nombre, 

 sean ó no unicursales. Pero, en el caso de serlo, dedúcense de su aplica- 

 ción soluciones extrañas, 6 pseudofocos, que es necesario excluir. Lo cual 

 procede de que el método citado, no solameute sirve para determinar los 

 focos propiamente dichos, sino también los puntos por los cuales se puede 



