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50. Anteriormente vimos que, cuando h = — A' es raíz de (10), una 

 de las parábolas (7) se reduce á dos rectas, ambas coincidentes con el eje 

 de las abscisas, sobre el cual pueden, en tal caso, existir focos que pasa- 

 mos á determinar. 



Adviértase para ello que, si el punto (a'j, 0) fuese un foco de (3), cada 

 recta determinada por la ecuación 



IJ=±Í [X — x^) 



debe representar una tangente á esta curva, á la cual cortará, en conse- 

 cuencia, en dos puntos coincidentes. Y como los valores de .c en los puntos 

 de intersección de estas rectas con la cúbica se hallan definidos por la 

 ecuación 



(2xi — ^ + A'} x^ — {x;^ + 2^' j, + C) X-]- A' x;^ — F= O, 

 cuyas dos raíces han de ser iguales, resulta esta otra: 



(15) .f,* — 4^' ¿CjS + (2 C + 4^.4') x;^ + (8i^+ 4 CA') x, 

 -\-C^^iF{A' — A}=^0. 



La cual sirve para determinar el valor de x^ y muestra que sobre el eje 

 de las abscisas existen en este caso, por regla general, cuatro focos. 



5 1 . Tratemos ahora especialmente de las cúbicas, además de circula- 

 res, unicursales. Estas últimas curvas, como ya es sabido, poseen nn pun- 

 to doble que, tomado por origen de las coordenadas, permite reducir siem- 

 pre la ecuación ^2; á la forma 



(16) X {x^ + ¿/2) = P, x^ -^Q.,xy + R., f. 



Y si después se traslada el origen de las coordenadas al punto (O, — Q.¿¡, 

 la última ecuación se reduce á la forma (3), en la cual 



A = P,; A' = R.] 2C = - (^^\ W = R^ (?.,; y T = - R.-> Q\,. 



Aplicando tras de esto la ecuación ílOi á la determinación de h, obtié- 

 nese la siguiente: 



