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49. Tras de lo que precede, pasemos á determinar los focos ordina- 

 rios de las cúbicas circulares. 



Si x^ é í/j representan las coordenadas de uno de estos focos, las rectas 

 cuyas ecuaciones sean 



i/ — i/i = i {X — «ij é y — y^ = — i (X — x^) 

 serán tangentes á la curva. Luego el círculo imaginario 



que comprende á las dos, debe ser bitangente á la misma curva, y hallar- 

 se, en consecuencia, comprendido también entre los círculos representados 

 por la ecuación (11), cuando cero no sea raíz de (10), ó por las (11) y (12), 

 cuando lo sea. 



En el primero de estos casos (y de análogo modo puede tratarse el se- 

 gundo), de la identidad 



x^+f-2ax-2'<y —-^ 2/.a - — 



A -\- h II 



H ^^— - + h (A + A) = (.r - x,)^ + (í/ - y,)^ 



h{A' -\- h) 



se deduce que 



a"i = a é «/i = 13; 

 y también 



^l^ + y»^+4^+^^-^i+T- ;,Jl; -^^(^ + ^^) = 0- 

 A -\-h h h (A + h¡ 



Comparando esta ecuación con la (13), concluyese que los focos están 

 situados sobre las circunferencias de los círculos representados por la úl- 

 tima ecuación. Luego los puntos de intersección de cada una de las pará- 

 bolas representadas por la (7), con el circulo correspondiente por la (13), 

 son los focos ordinarios de la curva. — Teorema descubierto por Hart, 

 según puede verse en Salmón (Higher planes curves, 3." ed., n.°* 168 



y 271). 



