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Aplicando tras de esto la transformación (¡y.) á la ecuación de las cúbicas 

 circulares, hállase la siguiente: 



Fx,^ + A',/,^x, + 2 C'f/,.r,^ + 2 C.t,^ + ^.r^ = 1 + y,^, 



por medio de la cual se ve que [O, i), es un punto ordinario de la curva 

 que representa. 



Luego el número de tangentes á la cúbica circular, con coeficiente an- 

 gular igual á i , es n — 1 : representando, cumo en el caso general, por 7i 

 la clase de la cúbica considerada. Pero como una de estas tangentes debe 

 coincidir con la asíntota, de coeficiente angular /, que, según ya se vio en 

 el Núm. 42, posee la curva, el número de las mismas, con el expresado 

 coeficiente angular i, y puntos de contacto á distancia finita, se reduce á 

 n — 2. 



Y por los mismos pasos se concluye también que ii — 2 es asimismo el 

 número de tangentes á la cúbica circular, con los puntos de contacto á dis- 

 tancia finita, cuando el coeficiente angular es — i. 



Las tangentes del primer grupo cortan á las del segundo en (n — 2)^ 

 puntos, que serán precisamente los focos ordinarios de la ctibica circular á 

 que n en particular se refiera: 16, 4 ó 1 solamente, conforme sea n igual 

 á 6,4 ó 3. 



De los focos á que nos referimos serán reales los que resultan de la in- 

 tersección de cada tangente del primer grupo con su conjugada del segun- 

 do: cuatro, en consecuencia, cuando la cúbica carezca de puntos dobles; 

 dos, cuando posea un nodo; y uno, cuando presente wn punto de retroceso. 



Los focos singulares reales resultan de la intersección de las asíntotas 

 conjugadas, ó susceptibles de permutación por el cambio de / en — /. Por 

 referencia á la ecuación (3), estas asíntotas tienen por ecuación 



y = ±i\x-— (A—A')], 

 hallándose definido el foco singular real por las coordenadas 



