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aplicándose el calificativo de ordinarios á los focos de donde parten tan- 

 gentes, cuyos puntos de contacto con la curva se encuentran situados á 

 distancias finitas de los mismos. 



En la Geometría Analítica establécense reglas generales para determi- 

 nar el número de focos de cada especie: número dependiente de la clase 

 de la curva, que, tratándose de las cúbicas circulares, es igual á seis 

 cuando no poseen ningún punto doble, á cuatro cuando tienen uno, y á 

 tres cuando tienen un punto de retroceso. En el primer caso, el número de 

 focos ordinarios es igual á 16, cuatro de los cuales son reales; á cuatro en 

 el segundo, contándose entre ellos dos reales; y á uno, también real, en el 

 tercero. 



Para demostrar del modo menos complicado posible esta tan interesante 

 proposición, recordemos íSáímoí^ , Higher Curres planes, ed. 3.", núme- 

 ro ñl) que, en términos generales, la clase n, de una curva plana alge- 

 braica, se halla determinada por la siguiente fórmula de Plucker, cuyo 

 fundamento razonadamente expondremos como nota complementaria de 

 esta obra: 



71 =z m {m — 1} — 2o — 3 v. 



En la cual representan: m el grado ú orden de la curva; o el número de 

 sus nodos; y v el de sus puntos de retroceso. Tratándose, en particular, de 

 las cúbicas, m será igual á 3; y, por lo tanto, m = 6, si la cúbica no posee 

 ningún punto doble (5= O y v ^ 0); á 4, cuando posea uno (o = 1 y 

 V ^ 0); y á 3 cuando presente un punto de retroceso (o ^ O y v ^ 1). 

 Fácil es ver además que, poniendo en la ecuación de una curva C 



I a) ^==^ y ./•=_, 



aquella curva se transforma en otra, C, cuyos nodos y puntos de retro- 

 ceso son los puntos en que se transforman los de iguales nombres de la 

 primera, y que será, por lo tanto, de la misma clase. 

 De las ecuaciones (a) se deduce, en efecto, esta otra: 



ax d.r^ 



