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 equivalente á esta otra: 



(10) h'2{A + h){A'+ h) + F {A + h) — 2 Ch {A' + h) — C"2= 0. 



De la cual se deducen, en general, cuatro valores para h: los cuales, á 

 su vez, sucesivamente sustituidos en las (7) y (8), determinarán los que de- 

 ben poseer las constantes a y y, que figuran en la ecuación del círculo (4), 

 para que éste sea bitangente á la cúbica considerada, permaneciendo, des- 

 pués de todo, arbitraria la constante p. 



De donde resulta demostrado que e.risten, en general, cuatro series de 

 círculos, bitangentes á la cúbica circular considerada , de cada una de las 

 cuales es, por lo tanto, envolvente la misma cúbica. 



Además: como a y p representan las coordenadas del centro del cír- 

 culo (4), la ecuación (7) nos enseña también que los centros de los círculos 

 de cada serie se hallan situados sobre una misma parábola. 



El análisis anterior pide modificación cuando cero sea raíz de la ecua- 

 ción (10), ó cuando FA' = C"-. 



De las ecuaciones (6) ded fícense entonces estas otras: 



'■^l^~^' PC" = .l'(T-6'); y FA' = C"'. 



La primera de las cuales determina el lugar geométrico de los centros de 

 una serie de círculos, bitangentes á la cúbica á que estos mismos círculos 

 se refieren; y la segunda el valor de y. 



Cuando — A' sea raíz de (10), ó cuando C = O, también pide modifi- 

 cación el análisis precedente, deduciéndose entonces de las ecuaciones (B) 

 estos resultados: 



P = 0, y {2r-A + A')i2A'y + F) = -(y-C-A'xr: 



el primero de los cuales expresa que, en este caso , los círculos bitangentes 

 de la serie tienen sus centros sobre el eje de las abscisas, reduciéndose la 

 parábola á dos rectas, ambas en coincidencia con el mismo eje; y el segun- 

 do determina el valor de y, del cual dependen los de los radios de aquellos 

 círculos. 



