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la ecuación general de las cúbicas circulares podrá representarse como 

 sigue : 



(3) («2 + 2/2)0. = Ax^ + A'y^ + 2 Ccc + 2 C'i/ + F: 



ecuación de que nos serviremos para estudiar las curvas á que se refiere. 



43. Comencemos por demostrar que las cúbicas circulares son envol- 

 ventes de círculos, cuyos centros se hallan situados, según los casos, sobre 

 distintas parábolas. 



Y para ello fijemos, por de pronto, la atención en el círculo cuya ecua- 

 ción sea 



(4) ' ..^2j^y2^2{a.X^¡iy^y), 



y busquemos las condiciones á que ha de satisfacer este círculo, para que 

 resulte bitangente á una cualquiera de las curvas comprendidas en la 

 ecuación (3). 



Para resolver este problema adviértase, en primer lugar, que los puntos 

 de intersección con el círculo de la curva, en particular ahora considera- 

 da, son los mismos, también de intersección, del círculo con la cónica, á 

 que corresponde la ecuación 



(5) 2 (ax + pí/ + Y) a- — (^a-2 + Ay'^ + 2 (7íc + 2 C'y + 7^) = 0. 



Mas , para que el círculo resulte bitangente á la cúbica (3) , deben reunir- 

 se en cada punto de contacto dos puntos de intersección del mismo círculo 

 con la cúbica, y, por lo tanto, deben ser también bi tangentes el círculo 

 y la cónica de que se trata. 



Investiguemos, pues, las condiciones para que esto último se verifique. 



Para ello, designando por h un parámetro arbitrario, tomemos la ecua- 

 ción 



I 2 (7.x + 3w + y) .oc — {Ax-^ + A' y^ -\-2Cx + 2 C'y + F) 



(A) { 



I - k [x^- + 2/-^- 2a^ - 2¡3¿/ - 2y) = O, 



que representa todas las cónicas que pasan por los puntos de intersección 

 del círculo (4) con la cónica (5). 



