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ginaria para los demás valores de .r. Luego la curva se halla por completo 

 comprendida en la región limitada por las paralelas al eje de las ordenadas^ 

 que pasan por U y V. 



Los valores de y son asimismo iguales á cero, cuando es x = 0. Luego 

 el origen de las coordenadas es unpmifo doble: en el cual los valores de y' 

 tienen por expresión 



cosa — 1 1 , cosa + 1 1 



2/n = = — tang — a, e í/, = — — = cot —a. 



•^0 sena 2 ^ sena 2 



Luego, representando por o,, y (.jj los ángulos formados por las tangen- 

 tes, en el punto doble, con el eje de las abscisas, hallaremos que 



a TI 



^ 2 -^ ' 2 



Lis tangentes en el punto doble son, pues, perpendiculares una á otra. 



Puédense también determinar geométricamente estas tangentes. En efec- 

 to, J/ tiende (fig. 6) hacia O cuando la recta variable OD propende á con- 

 fundirse con 0K^ ó con 0L^. Luego 0K^ y OL^ son las tangentes á la 

 curva en el punto doble O. 



La curva corta al eje de las abscisas en el punto O y en el punto D^, 

 donde x = asenv.: valor de x este último á que corresponde, además del 

 de y ^ O, c\ de y= acosa, que designa también el de la ordenada del 

 centro C de la circunferencia, considerada en el nCimero 21. 



La expresión de y muestra que la hipérbola, cuya ecuación es 



a X eos a 



X -{- a sen a ' 



y que posee la misma asíntota que la curva considerada y pasa por los pun- 

 tos U, O y T, corta á todas las cuerdas paralelas á la asíntota en dos par- 

 tes iguales. 



30. Por ser p = OD — OE, vese que la subnormal polar de la curva 

 en el punto M es igual á la diferencia entre la subnormal polar de la cir- 

 cunferencia (fig. 6) ADO en el punto D, y la subnormal polar de la recta 



