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De donde, representando por x¡^ la abscisa del punto buscado, inmediata- 

 mente se infiere que 



*i = Pi cosíii = a y 1 — — V^- 



Resultado final por primera vez encontrado por el eminente geómetra 

 Fagnano, quien asimismo enseñó á dividir un cuadrante de lemniscata 

 en 2"", 3 . 2'", y 5 . 2'" partes iguales, cuando m sea número entero, con 

 auxilio simplemente de la regla y el compás. 



Los estudios de Fagnano sobre las propiedades de los arcos de lemnis- 

 cata ejercieron gran influencia en el progreso de las Ciencias matemáticas, 

 y sirvieron de base para la fundación de la Teoría de las Integrales elípti- 

 cas. Continuólos más tarde, ampliándolos considerablemente, cuando ya 

 esta teoría se hallaba substancialmente constituida, el gran geómetra Abel 

 (CEuvres, t. i,pág. 361, 1881), el cual demostró que los cuadrantes de la 

 lemniscata pueden dividirse en ti arcos de igual longitud, con auxilio de 

 la regla y del compás, cuando n es un número de la forma 2'" (suponien- 

 do entero el exponente m), ó un número primo de la forma 2'" -}- í, 6 e\ 

 producto de números de estas formas. Ocupándose más tarde en la mis- 

 ma cuestión LioüVille (Journal des Mathématiques, 1843, p. 507); KiE- 

 PERT (Journal de Crelle, t. cxxv, p. 255); etc., etc. 



149. La lemniscata de Bernoulli posee otras muchas propiedades, cuya 

 detallada exposición sería casi interminable, entre las cuales nos limitare- 

 mos á mencionar la que sirve de base á un procedimiento muy sencillo 

 para construir la curva, también á continuación expuesto y demostrado. 



Considerando un punto O y una circunferencia tal, qne las tangentes á 

 ella trazadas desde el mismo punto formen un ángulo recto; tirando des- 

 pués por O una secante cualquiera, OP, á la circunferencia; y tomando 

 luego sobre esta secante, de cada lado del O, un segmento OM = OM', 

 igual á la cuerda QP de la circunferencia, que la misma secante determi- 

 na, obtiénense dos puntos, equidistantes del O, que pertenecen á la lem- 

 niscata definida por la ecuación 



p2 = a2 00829, 

 en la cual a representa el diámetro de la circunferencia. 



