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La forma de la curva será entonces la representada en la figura 47, con 

 un punto de retroceso en O, á la distancia 2 a del A. Los puntos M y N, en 

 donde las tangentes son paralelas al eje de las abscisas, se hallan definidos 



por las fórmulas O = 



1 3 



— TI y p = — h; y los P y Q, en donde las tan- 

 6 2 



gentes son paralelas al eje de las ordenadas, 



por estas otras: 



6 = ± -1 t: 

 (5 



y p = __a; 



las cuales, juntamente con las anteriores, 



muestran que los puntos P, O y N se hallan 



en línea recta, así como los puntos Q, O y AI. 



En este caso especial, la curva recibe el 



nombre de cardioide *. 



153. Aplicando, para determinar los puntos de inflexión del caracol 



en los tres casos considerados, la fórmula conocida 



Fignra 47 



'P 



d92 



+ 2 



m 



o, 



obtiénense las ecuaciones 



cosS : 



2a2 + h^ 

 3ah 



y p = 



2 (a^ — k^) 

 3h 



que determinan los valores de í y p en estos puntos. Pero advirtiendo que, 

 para ser 'i real, debe ser eos 'i ^ 1, y, por lo tanto. 



2a^ + h^ — 3ah = (a — k} 



(«_l/,j^O, 



se ve que sólo existen puntos de inflexión reales cuando A > a, y ^ < 2a; 

 y que el número de estos puntos será igual á dos, separados uno de otro, 

 si h <c2a,6 confundidos en uno solo, de doble inflexión entonces, cuando 

 sea k = 2a. 



* De /.apoia: corazón, poi- analogía remota de figura. 



