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154. Por ser (fig. 44) p = 0M± h, tenemos — — = ■ . Luego 



la subnormal polar del caracol, correspondiente á los puntos A y B, es 

 igual á la subnormal polar de la circunferencia, correspondiente al pun- 

 to M. Para construir las normales al caracol en los puntos A y B, basta, 

 pues, trazar la recta OD, perpendicular á OM, y la recta MC, que corta 

 á la anterior en el punto D. El punto D pertenece á las normales pedidas. 



155. El caracol puede considerarse desde muy diverso punto de vista, 

 conforme el siguiente interesante teorema de Roberval expresa: 



La podaría de la circunfereucia , con relación á un punto cualquiera 

 de su plano , es un caracol de Pascal. 



Para demostrarlo, designemos por /¿ el radio de la circunferencia, y 

 por a la distancia de su centro al punto de referencia de que se trate. 

 Pues si por origen de las coordenadas se toma este mismo punto, y por 

 eje de las abscisas la recta que le una al centro, la circunferencia tendrá 

 por ecuación 



la tangente en cualquiera de sus puntos (a;j,j!/j) esta otra: 



y^y -\- (oCi — a) x = y^^ -\- j?i^ — ax^ = ax^ + h^ — a^; 



y la perpendicular á esta tangente, trazada por el origen de las coordena- 

 das, la que sigue: 



(x^ — a)y — y^x = 0. 



Eliminando de estas tres ecuaciones los valores de x^ é y^, se hallará la 

 ecuación de la podarla, y se verá que concuerda con la del caracol, poco 

 antes (Núm. 151) consignada. 



156. Demostróse anteriormente (Nóm. 152) que el caracol de Pas- 

 cal, cualquiera que sea su forma particular, posee en todos los casos un 

 punto doble á distancia finita. A lo cual puede agregarse que también po- 

 see otros dos en lo infinito. 



Probarémoslo comenzando por hallar las asíntotas de la curva, poniendo 

 para ello en su ecuación y = ux, y buscando el límite hacia el cual se 



