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La curva tendrá, pues, una forma parecida á la que tenía en el segundo 

 caso. 



Caso 6.°— Y, por último: si I <:,R, c <:iR — I, y c <,l,\a, ordenada 

 y será máxima 6 mínima en los puntos 



[a-==0, !j:=±\/m — {l±cf'\, {x = ± \Jl^ — c\ y = ±R\, 



y la abscisa, x, máxima ó mínima también en los puntos 



[x = ±\/{±R — l)^ — c'-, i/ = o]. 



La curva se compone, pues, entonces de una rama, semejante á la cur- 

 va considerada en el segundo caso; y de un óvalo, colocado en el interior 

 de aquella rama, cuyos ejes tienen por expresión 



2\/r^ — {1-\-c)^ y 2\l{R — l)^ — c\ 



108. Investigando las asíntotas de las espíricas por el método cono- 

 cido, hállase que estas asíntotas son imaginarias, y están definidas por las 

 ecuaciones 



y = ix ih il é y = — ix rt il. 



Las cuales enseñan que las espíricas poseen dos puntos dobles e7i lo infinito. 



109. Para determinar los focos de las espíricas, comenzaremos, tras 

 de esto, por advertir que las asíntotas, cuyas ecuaciones acabamos de 

 hallar, se cortan en cuatro puntos, que son (Núm. 48) focos singulares de 

 la curva á que las asíntotas se refieren. Dos de estos focos serán reales, y 

 tienen por expresión analítica la siguiente: (r = ± /, y ^ 0); y los otros 

 dos imaginarios, determinados por las coordenadas {x = 0, y = zh i 1). 



Los focos ordinarios (Nfim. 48), también pueden determinarse fácil- 

 mente. Para lo cual propusimos recientemente un procedimiento elemental 

 y sencillo en el volumen correspondiente al año 1900 de El Progreso Ma- 

 temático, que pul)lica en Zaragoza el profesor Sr. Galdeano. Pero el méto- 

 do que á continuación vamos á exponer, de carácter elemental asimismo, 

 nos parece todavía más sencillo. 



