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 Consideremos, en efecto, la recta, representada por la ecuación 



y = ix + /.-, 



que debe tener con la curva definida por la (2) dos puntos de intersección, 

 cuyas abscisas se desprenden de esta otra: 



4 (A'^ + ^2) £c2 _ 4¿¿ (/.2 4_ ¿2 _^ c2 _ 7¿2) ¿p 

 -|_ 4¿2 ¿i _ (¿2 _^ ;2 ^ g2 _ J¿2)2 = 0. 



Para que la recta en cuestión sea tangente á la curva, los puntos de inter- 

 sección de ambas líneas deben coincidir uno con otro, ó ser iguales, en 

 consecuencia, las dos raíces de la ecuación anterior. Luego deberá verifi- 

 carse que 



A-2 (A-2 + /2 _^ g2 _ ^2)2 _^ (/.2 _^ ;2) ^4 ¿2 ¿¿ _ (/.2 _^ ¿2 _^ ^2 _ ^2)2J ^ Q, 



6 



(A:2 4- ¿2)2 _ 2 (A-2 + ¿2) (c'-^ -f /¿2) + (c^ — R^f = O : 



ó, como fácilmente se desprende de aquí, 



Jf = (c± Rf — P. 



La ecuación de las tangentes á la curva considerada, de coeficiente an- 

 gular igual á -\- i, tendrá, según esto, por expresión 



y = + ix ± V(c ± Rf — /2. 



Y si el coeficiente angular fuese — i, hallaríase, para ecuación de las tan- 

 gentes, esta otra: 



y- 



— ¿X ± V(C ± i?)2 — ¿2 



Todas estas tangentes constituyen, pues, dos grupos de cuatro rectas 

 cada uno; y las intersecciones de las rectas de un grupo con las del otro 

 determinan díex y seis puntos, que son precisamente ios focos ordinarios 

 de la espírica considerada. 



