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Sean 21 la distancia de los puntos fijos considerados, F y F' (fig. 39), 

 y >?i la constante dada. Designando por M el punto generador de la curva, 

 por definición resulta que 



MF X MF' 



m. 



Y tomando la recta F F' para eje de las abscisas, y su punto medio como 



origen de las coordenadas. 



V/(..^_/)2+,/2xV/(,X+0'^ + .'/^ 



(x'- + y^ + Ff = wi2 + 4/2 .r2.. 



ó, poniendo m^ = iP c~, 



(ÍC2 + / + ¿2^2 _4 ¿2(^2 + ^2). 



113. Comparando esta ecuación con la (2) del Núm. 105, vese que 

 las cassínicas coinciden con las cspírícas resultantes de cortar el toro por 

 un plano paralelo al eje, y cuya distancia á este eje sea igual al radio del 

 círculo generador de la superficie. 



Poniendo, pues, i2 = í» en los resultados obtenidos en el Núm. 107, 

 por referencia á las espíricas, concluyese sin dificultad que las curvas de 

 Cassini, desprovistas de puntos duplos, á distancia finita, admiten tres 

 formas diferentes. 



Caso 1." — Si / >> 2c (caso 3.° de las espíricas), la curva se compondrá 

 de dos óvalos, como en la figura 33. 



Caso 2." — Si 2c ;> / > c (caso 2." de las espíricas), la curva tendrá la 

 forma indicada en la figura 32. 



Caso 3." — Si es Z ^ c (caso 4." de las espíricas), la curva presentará la 

 forma de una elipse. Tanto, que algunos autores aplican entonces á la cur- 

 va el nombre de elipse de Cassini (fig. 36). 



En el caso de ser Z= 2c, la curva se reduce á la llamada lemniscata 

 de Bernoulli, que más adelante especialmente estudiaremos, y la cual tie- 

 ne por ecuación 



(x2+y/2ja,= 8c2(a;2-/^ 



